完全背包问题（DP 逐渐优化*3）

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Question

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10

Ideas

DP

Code

# 朴素版 TLE 通过了 12/14个数据
n,m = [int(i) for i in input().split()]
N = 1010
v = [0 for i in range(N)]
w = [0 for i in range(N)]
f = [[0 for i in range(N)] for j in range(N)]

for i in range(1,n+1):
    vi,wi = map(int,input().split())
    v[i],w[i] = vi,wi

# 初始化，选0个物体的时候，体积都为0 定义的时候就是这样
for i in range(1,n+1):
    for j in range(m+1):
        k = 0
        while k*v[i] <= j:
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i])
            k += 1

print(f[n][m])

# 优化版1 是因为发现了f[i,j] 与f[i,j-v] 之差一个w
n,m = [int(i) for i in input().split()]
N = 1010
v = [0 for i in range(N)]
w = [0 for i in range(N)]
f = [[0 for i in range(N)] for j in range(N)]

for i in range(1,n+1):
    vi,wi = map(int,input().split())
    v[i],w[i] = vi,wi

# 初始化，选0个物体的时候，体积都为0 定义的时候就是这样
for i in range(1,n+1):
    for j in range(m+1):
        f[i][j] = f[i-1][j]
        if v[i] <= j:
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i])
    
print(f[n][m])

# 优化版2 同01背包 优化代码
n,m = [int(i) for i in input().split()]
N = 1010
v = [0 for i in range(N)]
w = [0 for i in range(N)]
f = [0 for j in range(N)]

for i in range(1,n+1):
    vi,wi = map(int,input().split())
    v[i],w[i] = vi,wi

# 初始化，选0个物体的时候，体积都为0 定义的时候就是这样
for i in range(1,n+1):
    for j in range(v[i],m+1): # 用的是当前层的j
        if v[i] <= j:
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i])
    
print(f[m])