[动态规划]BM71 最长上升子序列(一)-中等

​​BM71 最长上升子序列​​

描述

给定一个长度为 n 的数组 arr，求它的最长严格上升子序列的长度。所谓子序列，指一个数组删掉一些数（也可以不删）之后，形成的新数组。例如 [1,5,3,7,3] 数组，其子序列有：[1,3,3]、[7] 等。但 [1,6]、[1,3,5] 则不是它的子序列。我们定义一个序列是 严格上升 的，当且仅当该序列不存在两个下标  和  满足  且 。

数据范围： 要求：时间复杂度 ， 空间复杂度 

示例1

输入：

[6,3,1,5,2,3,7]

复制返回值：

4

复制说明：

该数组最长上升子序列为 [1,2,3,7] ，长度为4

题解

• 定义dp数组，长度为arr.size()，dp[i]表示前面i+1个元素的最长上升序列的长度
• 初始条件:dp[i] = 1，因为一个数字本身是一个长度为1的上升序列
• 状态方程：dp[i] = std::max(dp[k] + 1,dp[i])，其中k表示在[0,i-1]的逆序序列中第一个小于arr[i]的元素
• 返回结果：使用max_length保存dp[i]的最大元素

#include <bits/stdc++.h>

int LIS(std::vector<int> &arr)
{
  std::vector<int> dp(arr.size(), 1);
  for (int i = 1; i < arr.size(); ++i)
  {
    for (int k = i - 1; k >= 0; ++k)
    {
      if (arr[i] > arr[k])
      {
        dp[i] = dp[k] + 1;
      }
    }
  }
  return dp.back();
}