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头脑风暴:最后一块石头的重量

题目

有一堆石头,每块石头的重量都是正整数。

每一回合,从中选出任意两块石头,然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y,且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下:

如果 x == y,那么两块石头都会被完全粉碎; 如果 x != y,那么重量为 x 的石头将会完全粉碎,而重量为 y 的石头新重量为 y-x。 最后,最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下,就返回 0。

示例: 输入:[2,7,4,1,8,1] 输出:1 解释: 组合 2 和 4,得到 2,所以数组转化为 [2,7,1,8,1], 组合 7 和 8,得到 1,所以数组转化为 [2,1,1,1], 组合 2 和 1,得到 1,所以数组转化为 [1,1,1], 组合 1 和 1,得到 0,所以数组转化为 [1],这就是最优值。

提示:

  • 1 <= stones.length <= 30
  • 1 <= stones[i] <= 1000

解题思路

本题的解题思路可以使用 01 背包来求解,如何让相撞之后的石头最小,那其实就是尽量将石头分成重量相同的俩堆,这样相撞之后剩下的就是重量最小的。

本题物品的重量为store[i],物品的价值也为store[i]。对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。

第一步确定 dp 数组的含义:dp[j]表示容量为j的背包,最多可以背dp[j]这么重的石头。

第二步确定递推公式:dp[j] = Max(dp[j], dp[j - stone[i]] + stone[i])。

第三步 dp 数组初始化:既然 dp[j]中的j表示容量,那么最大重量是多少呢,就是所有石头的重量和。

因为提示中给出1 <= stones.length <= 30,1 <= stones[i] <= 1000,所以最大重量就是30 * 1000 。

而我们要求的target其实只是最大重量的一半,所以dp数组开到15000大小就可以了。

第四步确定遍历顺序:先遍历物品,然后再遍历背包,代码如下:

for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包

代码实现

class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
int sum = 0;
for(int i : stones){
sum += i;
}

int target = sum / 2;
int[] dp = new int[target + 1];

for(int i = 0; i < stones.length; i++){
for(int j = target; j >= stones[i]; j--){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
}
}

return sum - 2

最后

  • 时间复杂度:O(m × n) , m是石头总重量得一半,n为石头块数。
  • 空间复杂度:O(m)。

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