2021-2022-2 ACM集训队每周程序设计竞赛（1） - 问题 F: 异或的和 - 题解

题意：

将所给的 $n$ 个数分为两个非空的集合 $A$ 和 $B$，要求满足：$A$中所有元素的异或值 $+$ $B$中所有元素的异或值，最后得到的和的值最大。

思路：

一堆数的异或值，不难想到线性基，难点是要怎么用。

第一个比较难想的点是，我们需要先求出来所有数的异或和 $sum$，或者换句话说，我们需要知道这 $n$ 个数转换到个二进制位之后，每一个二进制位 $1$ 的个数。
假设，在某一个二进制位，$(sum>>i)\&1$ 的值为 $1$，这意味着无论怎么分组，两个集合的异或值 $sumA$ 和 $sumB$ 在这一个二进制位上必定是一个 $0$ 和一个 $1$，而在最终得到的值 $ans$ 中，这一个二进制位上的值也就必定是 $1$。

而在$(sum>>i)\&1$ 的值为 $0$ 的二进制位上，我们当然希望 $sumA$ 和 $sumB$ 在这一位上均为 $1$，这样可以使最终值更大。那么就从高位到低位遍历，然后贪心即可。

这里还有一个细节，去除 $(sum>>i)\&1$ 的值为 $1$的二进制位的影响之后，因为 $sumA\oplus sumB=sum$，然后 $sumA$ 和 $sumB$ 每一个二进制位不是都为 $0$ 就都为 $1$，也就是说，$sumA=sumB$ （这里说的单指去掉值为 $1$ 的二进制位之后的值），那么只需要贪心求出线性基中任意元素异或的最大值即可。
注意，这里所有的操作都建立在去除 $(sum>>i)\&1$ 的值为 $1$的二进制位的影响之后，因此原数组中的数在插入线性基之前，必须去除相应二进制位上的值。

时间复杂度：$O（n）$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10, M = 350, mod = 1e9 + 7;
#define LL long long
int n;
LL s[N];
LL p[110];

void add(LL x) {
	for (int i = 62; i >= 0; i--) {
		if (!(x >> i))
			continue;
		if (!p[i]) {
			p[i] = x;
			break;
		}
		x ^= p[i];
	}
	return ;
}

signed main() {

	cin >> n;
	LL sum = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lld", &s[i]), sum ^= s[i];

	for (int i = 62; i >= 0; i--)
		if (sum >> i & 1ll) {
			for (int j = 1; j <= n; j++)
				if (s[j] >> i & 1ll)
					s[j] ^= (1ll << i);
		}

	for (int i = 1; i <= n; i++)
		add(s[i]);

	LL ans = 0;
	for (int i = 62; i >= 0; i--)
		if ((ans ^ p[i]) > ans)
			ans ^= p[i];
	cout << (ans ^ sum) + ans;
	return 0;
}