Tarjan求割点和桥学习笔记

Tarjan求割点和割边

强连通分量：
若图 $G$ 中的点两两可达，则称图 $G$ 为强连通。
强连通分量的定义：极大的强连通子图。

割点：
在一个无向连通图图中，删掉顶点 $u$ 及其相连的边以后，这个图不连通，点 $u$ 为此图割点。

重连通图：
1.一个不含割点的连通图称为重联通图。

2.对于重联通的无向图来说，每对顶点至少存在两条路径。

3.在网络通信中，图中不应该有割点。

求割点：
1.暴力判断图连通性, $O(n(n+e))$ 。

2.用Tarjan寻找割点时间复杂度为 $O(n+e)$ 。
Tarjan:
首先$dfs$ 寻找一颗无向连通图 $dfs$ 遍历后形成的深度优先生成树。
在深度优先生成树中的某个顶点 $u$ 要么是根，要么不是根：

1.若顶点 $u$ 为生成树的根：

1.1充要条件：$u$ 是割点的充要条件：$u$ 有两颗或以上的子树。
1.2判定：以 $u$ 相连其中一个顶点 $dfs$ 遍历，若能遍历完，则 $u$ 不为割点

2.若顶点 $u$ 不为根节点：

2.1充要条件：设 $v$ 为 $u$ 的一个孩子，$u$ 是割点的充要条件：在 $v$ 或 $v$ 的子孙节点和 $u$ 的祖先的节点之间不存在任何回边。

2.2判定条件：

2.2.1声明：
$df{n}_i$ 为第 $i$ 个点的 $dfs$ 序。
$lo{w}_i$ 为第 $i$ 个点出发能到达的点（双亲除外）的最小深度优先数，定义为：
$lo{w}_u=\min (df{n}_u,\min (lo{w}_v|v是u的孩子),\min (df{n}_v|在生成树，(u,v)是一条回边))$

2.2.2定理：
在 $u$ 不是深度优先生成树的根的前提下，若 $u$ 存在一个孩子 $v$ 使得 $df{n}_u\le lo{w}_v$ 成立，则 $u$ 是割点（若 $df{n}_u>lo{w}_v$ ，则证明以 $v$ 为根节点的子树中必有一个节点与 $u$ 的祖先相连，则 $u$ 必定不是割点）。

求割边（桥）：
1.割边定义：
当一个无向连通图 $G$ 删去一条边 $e$ 后剩下的点不能两两到达，则边 $e$ 为图 $G$ 的割边（即 $G-e$ 不为连通图）。

2.求割边：
2.1定理：若边 $(u,v)$ 为割边，则点 $u$ 和点 $v$ 为割点，若点 $u$ 和点 $v$ 为割点，边 $(u,v)$ 不一定为割边。
2.2求解：假设当前求解的边为$(u,v)$ ，且$df{n}_u<df{n}_v$ （即点 $v$ 为点 $u$ 的儿子），若点 $v$ 或点 $v$ 的子孙节点有一条连向 $u$ 的祖先的边，则边 $(u,v)$ 不为割边，否则边 $(u,v)$ 为割边，即：
$$lo{w}_v>df{n}_u-->边(u,v)为割边$$