算法导论 3.2-4 多项式问题

函数多项式有界吗？函数多项式有界吗？

解答：

第一个问题，函数多项式有界吗？

我们先假设多项式有界。那么可知=O()，k为正常量，由此可得：

O() = { : 存在正常量c和，使得对所有，有}

我们取，则可知当n为2的幂次方时，有

那么不等式可以变换为 。

根据斯特林公式，我们可以得出，

由于，因此，因此，

我们对不等式左右两边开m次方根，可得，可得 。

由于为常量，m为变量，所以不可能成立。

因此“函数多项式有界”无法成立。

故可以得出结论，“函数多项式有界”不成立。

第二个问题：函数多项式有界吗？

O() = { : 存在正常量c和，使得对所有，有} 。

取，则有 ，那么如果  ，当且仅当 。

由于，故成立。故函数多项式有界。