关于使用快慢指针进行单向链表环存在性判定的若干问题的进一步思考

文章目录

• • 面试官问这个问题的目的是什么
  • 快慢指针的工作原理
  • 快慢指针究竟几步可以定位环
  • 快指针的速度只能是双倍速么
  • 其他判定单向链表环路的方法
  • 小结

面试官问这个问题的目的是什么

面试造航母，工作拧螺丝，这句话放在程序员招聘中再合适不过了。但是，无论是人力面还是技术面，面试官的时间都是很宝贵的。面试官需要在短短一个小时的时间内，尽可能多的全面了解一个人的技术能力，就绝对不会随便问问题，总得为公司负责，也一定要为被招聘者负责。那么，面试官很多面试官纠结于算法问题的原因是什么呢？很多原因，举几个例子，

• 数据结构和算法对软件创作来说确实必不可少，这往往成为程序效率提升的瓶颈
• 或许在某些程序岗位，算法没那么重要，或者换句话说，要求并不高。但是，能关注算法至少说明应聘者是一个爱学习，爱钻研的人
• 没有人是全能的，就算是很厉害的人，对于不了解的算法也是很难给出令人满意的回答，毕竟那些精彩的算法，都是牛人们心血的结晶，指望面试的几分钟应急出来，可能么？所以，某些问题答不出来并没有关系，技术面很少因为这个刷人，这时候面试官会观察应聘者的抗压能力，和在压力下的思考问题的能力。要给处一个解决问题的方案。
• 僧多粥少，总要有个评判标准
• 其他

快慢指针的工作原理

问题描述：给定一个单向链表，如何判断其是否有环
答案：快慢指针，使用两个指针A，B，同时从起点出发，A每次移动步长为1，B每次移动步长为2，如果A和B能够“相遇”，那么证明链表有环。

我们通过下边的图先直观的看一下，环是如何发现的，后面再来看数学表达。可以看出，通过5步，快指针追上了慢指针，确定有环。

下面是数学模型，我们从图三开始看，此时慢指针刚刚入环。那么此时，整个场景可以用以下模型表示，

1. 快指针比慢指针超前d个节点
2. 环的长度为n
3. $n>1$
4. $d<n$

当$d+k=n$时，快指针追上慢指针，于是确定有环。

快慢指针究竟几步可以定位环

在上边我们得到结论，对于快慢指针（一步一节点和一步两节点）来说，定位环时必然满足下边得等式。
$d+k=n$
因为$d<n$，所以$k=n-d$有解。

我们用上边得公式验证一下本文中得第一个例子，$n=5，d=3$,因此我们需要$n-d=2$，表明我们只需要两步就可以定位环，与前边例子里得步骤4和5对应。
总共得步数则需要加入入环时已经走过的距离，因为快指针是慢指针的两倍，所以当入环时，如果快指针没有在环里转了几圈的情况下，这个距离也等于d，此时我们需要的步数为$d+(n-d)=n$.
可以看出，这种情况下何时能定位环仅取决于环的长度，上边的例子中环的长度为5，所以我们仅用5步便定位了环。
那么，如果环的长度比入环前的距离小又是什么情况呢？我们不难推导一个更加普适的公式，
此时的步骤数目
$k=(n-mod(d,n))+d$,
$mon(d,n)$表示求余，当$d<n$时，$mod(d,n)=d$
从上边的公式可以看出，$k=n+d-mod(d,n)$,当$d>n$时，$k>n$

快指针的速度只能是双倍速么

现在我们再来思考一个问题，双指针方法的移动步长只能时1和2么？如果快指针跑的更快是否可以更快找到环呢？亦或时快指针总是跳过慢指针永远找不到环呢？我们先来实际走一下。

还是同样的条件定位环，即，
$n=d+kp-k=d+k(p-1)$,可以看出上边步长为1和2时（即p=2），是此公式的特例。
那么我们来求一下几步可以定位环，
$k=(n-d)/(p-1)$
当$n-d$可以被$p-1$整除时，k有解，此时可以定位环。那么，否则呢？实际上，我们多转几圈也是可以的。结果应该是，$l/(p-1)$,$l$为$n-d$和$p-1$的最大公约数。

其他判定单向链表环路的方法

快慢指针是单向链表找环的最快方法，时间复杂度为$O(n)$,空间复杂度为$O(1)$.
这个方法很巧妙，如果我们不知道，第一反应可能是两个遍历环的方法，此时我们的时间复杂度为$O(n^2)$,空间复杂度为$O(1)$.
那么，既然有了一个方法，我们就应该意识到$O(n^2)$是一个不和实际的方法，这个算法时间增长太快。通常我们有更好的方法，我们可以考虑是不是可以用空间换时间呢？
于是我们，有了哈希法。
从下图可以看出，我们通过空间换来了时间，时间复杂度为$O(n)$,空间复杂度为$O(n)$.
不过可以看出，哈希法的时间是稳定的，总共需要n步来定位环，而快慢指针则是线性时间，一定是快于哈希法的。

小结

关于双指针法还有什么问题呢？有问题/有指正的请留言。