微分的概念

微分

【定义】设函数 $y=f(x)$ 在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果函数的增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 可以表示为
$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x),(\Delta x\to 0)$$
其中$A$为不依赖于$\Delta x$ 的常数，则称函数$f(x)$在点$x_0$处可微，称$A\Delta x$ 为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$处相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记为$dy=A\Delta x$.

【定理】 函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微的充分必要条件是 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且有
$$dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x=f^{\prime }(x_0)dx$$
在点$x$处，常记 $dy=f^{\prime }(x)dx$.

导数与微分的几何意义

1. 导数的几何意义
   导数 $f^{\prime }(x_0)$ 在几何上表示曲线 $y=f(x)$ 在点$(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率。
   如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处必有切线，其切线的方程为
   $$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$
   如果$f^{\prime }(x)\ne 0$，则此曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的法线方程为
   $$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$$
   如果$f^{\prime }(x_0)=0$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0)$ 处的切线方程为 $y=f(x_0)$， 即曲线在点 $(x_0,f(x_0))$ 处有水平切线。

   【注】 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$处有切线。反之则不然，例如曲线$y=x^{\frac{1}{3}}$ 在点 $(0,0)$ 处有切线 $x=0$（y轴），但函数 $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$ 在 $x=0$ 处不可导（$f^{\prime }(0)=\infty$）。

2. 微分的几何意义
   微分 $dy=f^{\prime }(x_0)dx$ 表示曲线 $y=f(x)$ 的切线上的增量
   $\Delta y=f^{\prime }(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 表示曲线 $y=f(x)$上的增量。
   $\Delta y=dy+o(\Delta x)$

连续、可导、可微之间的关系