「ZJOI2019」开关 （生成函数）（概率）

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一道毒瘤的生成函数推导题
一开始发现概率 加一个高斯消元可以过 ，然后一直在想 ……

• 题解：
  我们令成功了但不结束的概率指数生成函数为，直接上单位根反演
  
  
  考虑让成功过后停下来，我们构造走步回到本身状态的概率指数生成函数，那么
  
  令走步成功的概率的普通生成从函数为，转为普通生成函数为，
  那么有
  
  注意到答案求的就是
  
  下面考虑分别求出
  当时
  
  考虑这玩意在 1 处不收敛，将同乘
  那么
  
  只在处有值
  
  只在或处有值，于是可以做
  处理系数就是个背包，复杂度

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
using namespace std;
int read(){
  int cnt = 0, f = 1; char ch = 0;
  while(!isdigit(ch)){ ch = getchar(); if(ch == '-') f = -1; }
  while(isdigit(ch)) cnt = cnt*10 + (ch-'0'), ch = getchar();
  return cnt * f;
}
cs int N = 105, M = 1e5 + 50;
cs int Mod = 998244353;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; }
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod; }
int dec(int a, int b){ return a - b < 0 ? a - b + Mod : a - b; }
int ksm(int a, int b){ int ans=1; for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) ans=mul(ans,a); return ans; }
void Add(int &a, int b){ a = add(a, b); }
void Dec(int &a, int b){ a = dec(a, b); }
void Mul(int &a, int b){ a = mul(a, b); }
int fix(int a){ return a < 0 ? a + Mod : a; }
int n, s[N], p[N], S, iS, f[M], g[M];
int func(int *f){
  int ans = f[S+S];
  for(int i = -S; i < S; i++) Mul(ans, dec(1,mul(fix(i),iS)));
  return ans;
}
int deriv(int *f){
  static int coef[M];
  int sum = 1, ans = 0;
  for(int i = -S; i < S; i++) Mul(sum, dec(1,mul(fix(i),iS)));
  for(int i = -S; i < S; i++) coef[i+S] = mul(sum, ksm(dec(1,mul(fix(i),iS)),Mod-2));
  sum = 0;
  for(int i = -S; i < S; i++) Add(sum, mul(mul(fix(i),iS), coef[i+S]));
  Add(ans, mul(sum, f[S+S]));
  for(int i = -S; i < S; i++) Dec(ans, mul(f[i+S], coef[i+S]));
  return ans;
}
int main(){
  n = read();
  for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = read();
  for(int i = 1; i <= n; i++) p[i] = read(), S += p[i];
  iS = ksm(S, Mod-2);
  f[S] = g[S] = 1;
  for(int i = 1, now = 0; i <= n; i++){
    static int tf[M], tg[M];
    memset(tf, 0, sizeof(tf)); 
    memset(tg, 0, sizeof(tg));
    for(int j = -now; j <= now; j++){
      if(s[i] == 0) Add(tf[j + S - p[i]], f[j + S]);
      else Dec(tf[j + S - p[i]], f[j + S]);
      Add(tf[j + S + p[i]], f[j + S]);
      Add(tg[j + S + p[i]], g[j + S]);
      Add(tg[j + S - p[i]], g[j + S]);
    }
    memcpy(f, tf, sizeof(tf));
    memcpy(g, tg, sizeof(tg)); now += p[i];
  }
  int fg = func(g), res = mul(fg, deriv(f));
  Dec(res, mul(func(f), deriv(g)));
  cout << mul(res, ksm(mul(fg,fg), Mod-2)); return 0;
}