线段树介绍

线段树是一种基于分治思想的二叉树结构，用于在区间上进行信息统计。

与按照 “2的次幂” 进行划分的树状数组相比，线段树则是一种更为通用的数据结构：

• ①线段树每个节点都代表一个区间
• ②线段树的根节点是唯一的，代表的区间是整个统计范围，如：[1, N]
• ③线段树每个叶子节点都代表一个长度为1的单位区间[x, x]
• ④对于每个内部节点[l, r]，其左儿子是[l, mid]，右儿子是[mid+1, r]，其中mid=l+r>>1（即(l+r)/2向下取整）

区间视角下的线段树：

二叉树视角下的线段树：

上图所展示的线段树，如果除去最后一层，整棵树一定是个完全二叉树，且深度为O(logN)。因此我们可以按照之前学过的，与二叉堆类似的 父子2倍 节点编号 方法：

• ①根节点编号为1
• ②编号为x的节点左儿子编号为x<<1，右儿子为x<<1|1

这样一来我们就可以用一个结构体数组来存储整个线段树了。

当然，树的最后一层节点在结构体数组中保存位置是不连续的，直接空出数组多余位置就行。

在理想情况下，N个叶子结点的满二叉树有N + N/2 + N/4 + ... + 2 + 1 = 2N - 1个节点。

因为在上述存储方式下，最后一层产生冗余（余最多2N个节点），所以保存线段树的数组长度要不小于4N（2N - 1 + 2N = 4N - 1）才可以保证不越界！

一、线段树的建树：build

线段树的基本用途是对一个序列a进行维护，支持查询ask和修改modify指令。

给定一个长度为N的a序列，我们可以在区间[1, N]上建立一棵线段树。每个叶子结点[i, i]保存a[i]的值。

线段树的二叉树结构可以非常方便地从下往上传递信息，对于“从下到上”，即由儿子节点算父亲节点信息，我们可以编写一个pushup函数，我们以区间最大值为例子：

记区间[l, r]最大值为 dat(l, r) = max{a[l], a[l+1], ..., a[r]}，

显然 dat(l, r) = max(dat(l, mid), dat(mid+1, r))（mid = l+r>>1）。

如果用于建堆的序列a = {3, 6, 4, 8, 1, 2, 9, 5, 7, 0}，我们可以用build(1, 1, 10)，从根节点"1"开始，在序列 a 的[1, 10]这个区间建立一棵线段树如下图：

我们先书写一下用于存储线段树的结构体数组：

struct node
{
        int l, r;//区间的左、右边界
        int dat;//区间[l, r]最大值
} t[4*N];//结构体数组存储线段树，大小至少是原序列a的4倍

pushup函数：

//由儿子节点算父亲节点信息
void pushup(int u) {t[u].dat = max(t[u<<1].dat, t[u<<1|1].dat);}

build函数：

void build(int u, int l, int r)//建立一颗线段树并在每个节点上保存对应区间最大值max
{
        t[u].l = l, t[u].r = r;//节点u代表区间[l, r]
        if(l==r) {t[p].dat = a[l]; return ;}//如果当前是叶节点直接return
        int mid = l+r>>1;//当前区间中点
        build(u<<1, l, mid), build(u<<1|1, mid+1, r);
        //分别递归建立左边区间[l, mid]， 编号u<<1 右边区间[mid+1, r]，编号u<<1|1
        pushup(u);
}

调用build函数入口：

build(1, 1, n);//从根节点"`1`"开始，在序列 `a` 的`[1, n]`这个区间建立一棵线段树

二、线段树单点修改：modify

单点修改指令形如“C x v”，表示把a[x]修改为v。

在线段树中，根节点（编号为1的节点）是执行各种指令的入口。

从根节点出发，递归找到代表区间[x, x]的叶子节点，之后从下往上更新[x, x]以及它的所有祖先节点上保存的信息。如下图，展示一下modify(1, 7, 1)，阴影部分是需要改动的节点。

modify函数：时间复杂度：O(logN)

//从根节点出发，递归找到代表区间[x, x]的叶节点，之后从下往上更新[x, x]
//以及它的所有祖先节点上保存的信息。

void modify(int  u, int x, int v)//单点修改 把a[x]的值修改为v
{
        if(t[u].l==x&&t[u].r==x) {t[u].dat = v; return ;}//如果找到叶节点直接修改
        //否则判断到底是往左递归还是往右递归
        int mid = t[u].l+t[u].r>>1;//取中点
        if(x<=mid) modify(u<<1, x, v);//x属于左边
        else modify(u<<1|1, x, v);//x属于右边
        //递归完成后，当前节点最大值信息一定要记得更新
        pushup(u);//从下往上回溯更新信息
}

调用modify函数入口：

modify(1, x, v);//从根节点出发，将a[x]的值修改为v

三、线段树的区间查询：ask

区间查询指令形如“Q l r”，表示查询序列a在区间[l, r]上的最大值，即max{a[l], a[l+1], ..., a[r]}。

我们从根节点开始，递归执行一下过程：

• ①若[l, r]完全覆盖当前节点代表区间，立即回溯，且该节点dat值为候选答案。
• ②若左儿子与[l, r]有交集，递归访问左儿子。
  ③若右儿子与[l, r]有交集，递归访问右儿子。

如图：执行ask(1, 2, 8) = max{6, 4, 8, 5} = 8，区间[2, 8]恰好包含四个阴影节点。

ask函数：时间复杂度：O(logN)

int ask(int u, int l, int r)//区间查询最大值max
{
        if(l<=t[u].l&&r>=t[u].r) return t[u].dat;//树中节点，已经完全包含在[l, r]中了
        int mid = t[u].l+t[u].r>>1;
        int val = -(1<<30);//负无穷大
        if(l<=mid) val = max(val, ask(u<<1, l, r));//和左边有交集
        if(r>=mid+1) val = max(val, ask(u<<1|1, l, r));//和右边有交集
        return val;
}

调用ask函数入口：

cout<<ask(1, l, r)<<endl;//从根节点"1"开始，查询[l, r]内的最大值

可以证明，上述查询过程会将询问区间[l, r]在线段树上分为O(logN)个节点，取它们的最大值作为答案。

以上，就是关于线段树的讲解。

例题：AcWing 1275. 最大数

题意：

思路：

运用线段树实现两个操作：

Q L：询问序列中最后 L 个数的最大数是多少
A t：则表示向序列后面加一个数，加入的数是 (t+a) mod p。其中，t 是输入的参数，a 是在这个添加操作之前最后一个询问操作的答案（如果之前没有询问操作，则 a=0）

由于输入指令“A t”修改的时候所用到的值t和上一次查询的值a是有关系的，因此本题是个动态问题，我们不能用静态的方法，先把它们都读进来预处理一遍再去处理，只有知道前一个问题的答案才知道当前准备加入的数是多少。

本题没有设置序列a来初始化线段树，因此初始直接先build一个全0的线段树即可。

之后基本上是前面讲过的线段树基本操作了。

时间复杂度：

O(mlogm)

空白代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define int long long
const int N = 2e5+10;
int m, p;

struct node
{
        int l, r;
        int dat;
} t[4*N];

void pushup(int u) {t[u].dat = max(t[u<<1].dat, t[u<<1|1].dat);}

void build(int u, int l, int r)
{
        t[u].l = l, t[u].r = r;
        if(l==r) return ;
        int mid = l+r>>1;
        build(u<<1, l, mid), build(u<<1|1, mid+1, r);
}

void modify(int  u, int x, int v)
{
        if(t[u].l==x&&t[u].r==x) {t[u].dat = v; return ;}
        int mid = t[u].l+t[u].r>>1;
        if(x<=mid) modify(u<<1, x, v);
        else modify(u<<1|1, x, v);
        pushup(u);
}

int ask(int u, int l, int r)
{
        if(l<=t[u].l&&r>=t[u].r) return t[u].dat;
        int mid = t[u].l+t[u].r>>1;
        int val = -(1<<30);
        if(l<=mid) val = max(val, ask(u<<1, l, r));
        if(r>=mid+1) val = max(val, ask(u<<1|1, l, r));
        return val;
}

signed main()
{
        int now = 0;
        int last = 0;
        cin>>m>>p;
        build(1, 1, m);

        int x;
        char op[2];
        while(m--)
        {
                scanf("%s%d", op, &x);
                if(*op=='Q')
                {
                        last = ask(1, now-x+1, now);
                        printf("%d\n", last);
                }
                else
                {
                        modify(1, now+1, (last+x)%p);
                        ++now;
                }
        }
        return 0;
}

注释代码:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define int long long
const int N = 2e5+10;
int m, p;//操作数和取模的数

//node结构体
struct node
{
        int l, r;
        int dat;//区间[l, r]最大值
} t[4*N];//结构体数组存储线段树

//pushup函数
//由儿子节点算父亲节点信息
void pushup(int u) {t[u].dat = max(t[u<<1].dat, t[u<<1|1].dat);}

//build函数
void build(int u, int l, int r)//建立一颗线段树并在每个节点上保存对应区间最大值max
{
        t[u].l = l, t[u].r = r;//节点u代表区间[l, r]
        if(l==r)
        {
                //t[p].dat = a[l];//本题没有用于建立线段树的初始数组a，故不要这一句
                return ;//如果当前是叶节点直接return
        }
        int mid = l+r>>1;//当前区间中点
        build(u<<1, l, mid), build(u<<1|1, mid+1, r);
        //递归建立左边区间[l, mid]， 编号u<<1 递归建立右边区间[mid+1, r]，编号u<<1|1
        //pushup(u);//本题初始化线段树时并没有给dat赋值，因此无需pushup
}

//modify函数
//从根节点出发，递归找到代表区间[x, x]的叶节点，之后从下往上更新[x, x]
//以及它的所有祖先节点上保存的信息。
void modify(int  u, int x, int v)//单点修改 把a[x]的值修改为v
{
        if(t[u].l==x&&t[u].r==x) {t[u].dat = v; return ;}//如果找到叶节点直接修改
        //否则判断到底是往左递归还是往右递归
        int mid = t[u].l+t[u].r>>1;//取中点
        if(x<=mid) modify(u<<1, x, v);//x属于左边
        else modify(u<<1|1, x, v);//x属于右边
        //递归完成后，当前节点最大值信息一定要记得更新
        pushup(u);//从下往上回溯更新信息
}

//ask函数
//从根节点开始，递归执行一下过程：
//1.若[l, r]完全覆盖当前节点代表的区间，立即回溯，并且该节点的dat值为候选答案
//2.若左子节点与[l, r]有交集，则递归访问左子节点
//3.若右子节点与[l, r]有交集，则递归访问右子节点
int ask(int u, int l, int r)//区间查询最大值max
{
        if(l<=t[u].l&&r>=t[u].r) return t[u].dat;//树中节点，已经完全包含在[l, r]中了
        int mid = t[u].l+t[u].r>>1;
        int val = -(1<<30);//负无穷大
        if(l<=mid) val = max(val, ask(u<<1, l, r));//和左边有交集
        if(r>=mid+1) val = max(val, ask(u<<1|1, l, r));//和右边有交集
        return val;
}

signed main()
{
        int now = 0;//当前数据的个数
        int last = 0;//存储上一个询问的答案
        cin>>m>>p;
        build(1, 1, m);//建立线段树，操作数是m因此最大长度是m

        int x;
        char op[2];
        while(m--)
        {
                scanf("%s%d", op, &x);
                if(*op=='Q')
                {
                        last = ask(1, now-x+1, now);//从根节点开始查询，当前查询区间是后x个数，n-x+1即查询区间最左边的位置，最右边为n
                        printf("%d\n", last);
                }
                else//把下一个位置n+1的数修改
                {
                        modify(1, now+1, (last+x)%p);//从第一个数开始找，修改第n+1个位置，修改为(last+x)%p
                        ++now;
                }
        }
        return 0;
}