题目

题目背景
“你见过我的全盛时期吗？” $\mathsf{D}\mathsf{D}(\mathsf{X}\mathsf{Y}\mathsf{X})$ 冷笑着，一脚将 $\mathsf{O}\mathsf{n}\mathsf{e}\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{D}\mathsf{a}\mathsf{r}\mathsf{k}$ 踢飞，“你也想起舞吗？”

“能阻止我的生物只有一个——千手嘟间！就凭这个——”

“完全体丶须佐科夫！”

题目描述
给出一个括号序列，每次询问一个子区间 $[l,r]$：请在其中找出最长的子区间构成合法括号序列。

数据范围与提示
$n⩽10^5$，但 那挨千刀的坏东西出题人设置 $m⩽4\times 10^6$ 。时限 $2\mathrm{s}$，空间限制 $512\mathrm{M}$ 。

思路

我的做法也是 $\mathcal{O}(m\log n)$，但是常数大，所以过不了。简单来讲，猫树。

并非所有区间询问都需要线段树 $/$ 猫树。哪怕渐进时间复杂度是对的，常数也不会允许……空间复杂度、代码复杂度则劣多了……

基本题意转化是，规定 ( 为 $-1$ 而 ) 为 $+1$，求前缀和，则目标为找到 $s_l=s_r$ 使得 $\forall k\in (l,r),s_k<s_l$，最大化 $(r-l)$ 。

注意到 $s_i$ 的变化是 $\pm 1$，所以其实 只需找出前缀 $\max$ 和后缀 $\max$ 。因为前缀 $\max$ 相差 $1$，所以二者构成的左闭右开区间必然可行，比其更小的不用再找，不存在比其更大的。

想到上面这个东西的原因是，考虑最简单的做法，离线后扫描右端点，维护左端点对应答案。你会发现是单调栈，也就是找出上一个比自己大的值，也就是后缀 $\max$ 。

本题中最舒服的是，$\max$ 之间完全不必考虑。所以直接在单调栈上求贡献即可。

再考虑一下发现可以在线，反正单调栈的结构是固定的树形结构。倍增。时间复杂度 $\mathcal{O}(m\log n)$，空间复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$ 。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cctype>
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
typedef long long llong;
inline int readint(){
	int a = 0, f = 1, c = getchar();
	for(; !isdigit(c); c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; isdigit(c); c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
inline void writeint(const int &x){
	if(x > 9) writeint(x/10);
	putchar((x%10)^48);
}
inline void getMax(int &x, const int &y){
	if(x < y) x = y;
}

const int MAXN = 100005, LOGN = 18;
int lfa[MAXN][LOGN], lv[MAXN][LOGN];
int rfa[MAXN][LOGN], rv[MAXN][LOGN];
int a[MAXN], sta[MAXN], top;
char str[MAXN];
int main(){
	int n = readint(), m = readint();
	scanf("%s",str+2);
	rep(i,2,n+1){
		if(str[i] == 'F') a[i] = a[i-1]-1;
		else a[i] = a[i-1]+1; // ')'
	}
	rep(i,1,n+1){
		while(top && a[sta[top]] <= a[i]) -- top;
		lfa[i][0] = sta[top], lv[i][0] = i-sta[top]-1;
		for(int j=0; lfa[i][j]; ++j){
			lfa[i][j+1] = lfa[lfa[i][j]][j];
			lv[i][j+1] = max(lv[i][j],lv[lfa[i][j]][j]);
		}
		sta[++ top] = i;
	}
	drep(i,n+1+(top=0),1){
		while(top && a[sta[top]] <= a[i]) -- top;
		rfa[i][0] = sta[top], rv[i][0] = sta[top]-i-1;
		for(int j=0; rfa[i][j]; ++j){
			rfa[i][j+1] = rfa[rfa[i][j]][j];
			rv[i][j+1] = max(rv[i][j],rv[rfa[i][j]][j]);
		}
		sta[++ top] = i;
	}
	for(int l,r,x,y,res=0; m; --m,res=0){
		l = y = readint(), r = x = readint()+1;
		for(int j=LOGN-1; ~j; --j){
			if(lfa[x][j] && lfa[x][j] >= l-1){
				res = max(res,lv[x][j]);
				x = lfa[x][j]; // jumping
			}
			if(rfa[y][j] && rfa[y][j] <= r+1){
				res = max(res,rv[y][j]);
				y = rfa[y][j];
			}
		}
		res = std::max(res,x-y);
		writeint(res), putchar('\n');
	}
	return 0;
}