剑指offer 62. 圆圈中剩下的数字（约瑟夫环问题）

剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

运行结果

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分析

删除第m个数字

初始序列：

0, 1, ..., n-1    （1）

我们把从序列（1）中按照规则不断删除第m个数字最后剩下的数字记作f(n, m)

进行一次操作，我们删除掉的数字：k = (m-1)%n

剩余的序列：0, 1, ..., k-1, k+1, ..., n-1

序列重组

按照规则，下次从k+1开始计数，于是我们把该序列重组，得到：

k+1, ..., n-1, 0, 1, ..., k-1    （2）

该序列可以看作是把以下序列整体 % n 之后得到的序列
k+1, ..., n-1, n, n+1, ..., n+k-1

序列（2）有n-1项，我们把从该序列中不断按照规则删除第m个数字之后剩下的数字记作g(n-1, m)则:

f(n, m) == g(n-1, m)

映射

我们对序列（2）做一个映射，得到序列（3）：

k+1    ->    0
...
n-1    ->    n-k-2
0      ->    n    ->    n-k-1
...
k-1    ->    n+k-1    ->    n-2


0，1，...，n-2    （3）

我们把这种映射记作p(x)，则p(x) = (x - k - 1) % n

该映射的逆映射为：q(x) = (x + k + 1) % n

序列（3）有n-1项，且和序列（1）具有同样的形式，因此从序列（3）中按照规则不断删除第m个元素后剩下的数字为 f(n-1, m)

根据序列（2）和序列（3）之间的映射关系，我们可以得出：

g(n-1, m) == q( f(n-1, m) )

那么就有：

f(n, m) == q( f(n-1, m) )

因此我们就得到了：

递推关系

f(n, m)
= q( f(n-1, m) )
= ( f(n-1, m) + k + 1 ) % n
= ( f(n-1, m) + (m-1)%n + 1 ) % n
= ( f(n-1, m) + m ) % n

如果初始序列中只有一个元素0，那么按照规则，0就是最终剩余的元素，即：

f(1, m) = 0

根据递推关系，即可写出代码

代码

class Solution {
public:
	int lastRemaining(int n, int m) {
		int last = 0;
		for (int i = 2; i <= n; ++i) {
			last = (last + m) % i;
		}
		return last;
	}
};

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