参考资料:

• https://www.cnblogs.com/zyxStar/p/4591897.html

问题引入

给出一个平面内所有点的坐标, 求出这些点中最近的两个点的距离

分治算法

1. 将所有点按照横坐标的顺序从小到大排序
2. 根据中间点的坐标将整个平面划分成两部分

此时, 原问题转化成了3个子问题:

1. 在左半平面求最近点对
2. 在右半平面求最近点对
3. 对分别在左半平面和右半平面的两个点求最近点对

对于子问题1, 2而言, 问题的规模相较于原问题显然减少了一半. 有两种让递归终止的条件:

1. 某个半平面没有点, 此时保持原答案ans不变
2. 某半个平面内只有两个点a和b, 此时将答案更新为原答案ans和a与b之间距离的较小者.

对于子问题3而言, 我们可以采用如下方法缩小问题规模:

1. 选取所有与中间点的横坐标之差不超过ans的点, 将这些点的序号保存在一个临时的数组里.
2. 将这些点根据纵坐标的顺序从小到大进行排序, 然后暴力求解这些点的距离, 并适时更新答案

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<stdio.h>
using namespace std;
const double INF =1e15;				//设定一个足够大的初始值

class point {
public:
	double x, y;
public:
	bool operator <(const point b) {
		if (x==b.x) return y < b.y;
		else return x < b.x;
	}
};
point arr[100005];
int temp[100005];
double ans = INF;
int n;

bool cmp(int a, int b) {
	return arr[a].y < arr[b].y;
}


double dis(const point& a, const point& b) {
	return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}

void closest(int L, int R) {
	if (L >= R) return;
	else if (R - L == 1) {
		ans = min(ans, dis(arr[L], arr[R]));
		return;
	}
	int mid = (L + R) >> 1;
	closest(L, mid - 1);
	closest(mid + 1, R);
	int cnt = 0;
	for (int i = L; i <= R; i++) {
		if (fabs(arr[i].x - arr[mid].x) <= ans) temp[cnt++] = i;
	}
	sort(temp, temp + cnt, cmp);
	for (int i = 0; i < cnt; i++) {
		for (int j = i + 1; j < cnt; j++) {
			if (arr[temp[j]].y - arr[temp[i]].y > ans) break;
			ans = min(ans, dis(arr[temp[i]], arr[temp[j]]));
		}
	}
}

int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++) cin >> arr[i].x >> arr[i].y;
	sort(arr, arr + n);
	closest(0, n - 1);
	printf("%.4lf", ans);
	return 0;
}