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最大公约数(欧几里得算法和二进制算法)


欧几里得算法

原理

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。 
gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

证明过程

证明一:

证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数,则有

d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数,则

d | b , d |r ,但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。

证明二:

第一步:令c=gcd(a,b),则设a=mc,b=nc

第二步:可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步:根据第二步结果可知c也是r的​​因数​​

第四步:可以断定m-kn与n互素【否则,可设m-kn=xd,n=yd,(d>1),则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d,则a=mc=(ky+x)dc,b=nc=ycd,故a与b最大公约数≥cd,而非c,与前面结论矛盾】

从而可知gcd(b,r)=c,继而gcd(a,b)=gcd(b,r),得证

知识点:a=mc,b=nc,如果m,n互质,则gcd(a,b)=c。

注意:两种方法是有区别的。

代码实现:

ll gcd(ll a,ll b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

二进制算法

 

介绍

二进制最大公约数算法避免了欧几里得算法(辗转相除法)的大量取模操作,有效减少了时间消耗,且更为方便。

原理

本算法基于以下事实:

对于两个数的最大公约数gcd(m, n),有

m<n时,gcd(m, n)=gcd(n, m)

m偶n偶时,gcd(m, n)=2*gcd(m/2, n/2)

m偶n奇时,gcd(m, n)=gcd(m/2, n)

m奇n偶时,gcd(m, n)=gcd(m, n/2)

m奇n奇时,gcd(m, n)=gcd(n, m-n)

采用递归即可。

实现

inline int GCD(int x,int y)   
{
int i,j;
if(x==0) return y;
if(y==0) return x;
for(i=0;0==(x&1);++i)x>>=1; // 去掉所有的2
for(j=0;0==(y&1);++j)y>>=1; // 去掉所有的2
if(j<i) i=j;
while(1){
if(x<y)x^=y,y^=x,x^=y; // 若 x < y 交换 x, y
if(0==(x-=y)) return y<<i; // 若x == y, gcd == x == y (就是在辗转减,while(1)控制)
while(0==(x&1))x>>=1; // 去掉所有的2
}
}

最小公倍数:

int get_lcm(int a,int b)///获得最小公倍数
{
int x=a;
int y=b;
while(b)
{
int t=a;
a=b;
b=t%b;
}
return x/a*y;
}

 

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