1.关于扩展欧几里得算法的理解

首先要先学会欧几里得算法（辗转相除法）：

int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
/*
c = a % b;
a = b; b = c;
if b != 0 重复上述步骤
if b == 0 return a;
*/

然后去看扩展欧几里得算法：

几个关键点：

        因为 ax + by = gcd(a, b)
       bx1 + (a % b)y1 = gcd(b, a % b)
       gcd(a, b) = gcd(b, a%b)

       所以 ax + by = bx1 + (a % b)y1
       因为 a % b = a - b[a / b] (这里a / b是计算机的整除)
       整理可得解为：
       x = y1;
       y = x1 - (a / b) * y1;

       因为一开始只知道x和y，x1和y1是需要求的，那么我们根据上面发现的特性，发现需要从后往前不断求，
       最后得出x和y，所以需要递归的思想。
       递归出口是当b = 0时，x = 1，y = 0。(注意这里准确说是xn = 1，yn = 0)
       此时x = 1，y = 0(即xn = 1，yn = 0)这个解就是最后的一组解，然后从后往前，不断的得出解，最后就得到了x和y的解

下面通过代码具体解释一下：

直观的代码：

void exgcd(int a, int b, int &d, int &x ,int  &y)
//一开始从前往后不断递归的时候，其实只计算了a和b，int &x和int &y是从后往前返回的时候进行的相应赋值和计算
{
    if ( !b )
    {
        d = a;
        x = 1;
        y = 0; //这里是最后一组解(即xn = 1，yn = 0)
        return;
    }
    int x1,y1;
    exgcd( b , a % b , d , x1 , y1 );
/*
这里x1和y1一开始从前往后递归时没有值，当从后往前返回时，得到了值（相当于得到了未来的值）然后通过下面的
x = y1;
y = x1 - ( a / b ) * y1;
这两行代码就得到了这层递归循环的x和y的值（即当前的值，但是当return返回后，又相当于上一层递归循环的未来的值）
 */
    x = y1;
    y = x1 - ( a / b ) * y1;
    return ;
}

简化的代码（不直观）：

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
 /*
 这里是我认为比较难想的地方，不直观，下面讲讲我的理解：
这行代码里int d = exgcd(b, a % b, y, x);的y，x一开始从前往后递归时没有值，当从后往前返回时，
y的地方相当于x1的位置，x的地方相当于y1的位置，那么从后往前返回时，返回的值会给y和x赋值，
y得到了返回的x1的值，x得到了返回的y1的值，因为：
x = y1;
y = x1 - ( a / b ) * y1;
所以x不用变，y现在等于x1，x现在等于y1
所以y = y - ( a / b ) * x 就得到了当前这层递归循环y应该的值
这样一来，这层递归循环的x和y的值就都得到了
然后int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)这里是x和y的实参，所以刚才得出的x和y的值，
就会传给这里的int &x, int &y，然后继续返回。
  */
    y -= (a/b) * x;
    return d;
}

2.下面介绍乘法逆元的理解：

1.乘法逆元的作用
当a和b过大时，要进行取模操作，可以如下操作，
（a + b）% p = ((a % p) + (b % p)) % p;
（a - b）% p = ((a % p) - (b % p)) % p;
（a * b）% p = ((a % p) * (b % p)) % p;
但是（a / b）% p不遵循这个法则，所以可以换一个思想，
（a / b）% p 等同于 (a * b的逆元) % p, 那么问题转化为求b的逆元
设b的逆元为x，则 (b * x) mod p = 1

2.乘法逆元的条件
因为(b * x) mod p = 1
所以 b * x - n * p = 1
即 b * x + n * p = 1

通过前面的学习，我们知道b * x + n * p = k有整数解的条件是
k是gcd(b, p)的整数倍，所以k % gcd(b, p) = 0
当 k = 1 时，1 % gcd(b, p) = 0
所以gcd(b, p) = 1 ，即b 和 p互质是有乘法逆元的充要条件

3.如何求乘法逆元
我们发现b * x + n * p = 1 里的x可以用前面学过的扩展欧几里得算法得到，
求最小逆元就直接x % p就可以了（x 和 p此时都是正数）。

4.求乘法逆元的代码

int inv(int b, int p) {
    int x, y;
    int gcd = exgcd(b, p, x, y);
    if(1 % gcd != 0)    return -1; //没有乘法逆元
    p = abs(p);
    return (x % p + p) % p; 
    /*
    防止x是负数，
    x是负数时，x % p得到(-p, 0)之间的数，x % p + p得到(0, p)之间的数，
    x是正数时，(x % p + p) % p得到(0, p)之间的数。
    */
}

关于扩展欧几里得算法和乘法逆元的相关理解

1.关于扩展欧几里得算法的理解

2.下面介绍乘法逆元的理解：