算法的时间复杂
1. 时间复杂度
- [ ~ ] 时间复杂度的概念
- [ ~ ] 时间复杂度规则（大O的表示法）
- [ ~ ] 常见的时间复杂计算
（1）关于时间复杂度的概念：
算法的时间复杂度是一个函数，它描述的是算法运算的时间。一个算法所花费的时间与代码执行次数成正比。算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
（2）时间复杂度规则：
推导大O阶方法：
-
用常数1玉带运行时间中的所以加法常数。
-
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
-
如果最高阶项存在且不是1，则去除最高项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度变为O（N^2）
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[ 1 ] N=10 F(N)=100
-
[ 2 ] N=100 F(N)=10000
-
[ 3 ] N=1000F(N)=1000000
通过规律我们发现大O渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项保留了最大项。我计算过程中我们会遇到3种情况
- 最好情况：任意输入规模的最小运行次数。
- 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
- 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数
例如：在一个长度为N数组中找一个数X
1.最好的情况：1次找到
2.平均情况：N/2次找到
3.最坏情况：N次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
（3）以下为时间复杂度的的举例与计算
例一：计算count语句总共执行了多少次
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
for (int j = 0; j < N ; ++ j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
通过计算F（N）=N* N+2*N+10；
但由于大O渐进表示法的规则O(N^2)
-
[ 由于N的变大后面两项对整个结果的影响变小。]
-
[当N无限打的时候，后两项对结果的影响可以忽略不计]
例二：计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
通过判断结果为O(M+N）
例三： 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
O(1）
例四： 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
最好情况O(N） 最坏的情况O(N^2）
例五： 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n-1;
while (begin < end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid;
else
return mid;
}
return -1;
这个例子最能提醒：
这个例子的代码意思就是二分法查找用>>1可以表示/2就不用考虑闭开区间。
通过这个不断用二分法查找
O(N）；可能N为1也可能N为strlen（array）;
还有比较重要的递归算法时间复杂度计算：
1.每次函数调用是O（1），那么就看他的递归次数。
2.每次函数调用不是O（1），那么就看他的递归调用中次数的累加。
例一： 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}
O(N);
例二：计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
不断的一分二直至为0
1+2+4+8+16…2^(N-2) = 2 ^N;
利用等比数列公式得
2^n-1-1=2 ^N
我们通过递归的规则可以得出O(2^N)。
