目录
一、Bellman_ford算法的应用
Bellman-Ford算法是一种用于解决单源最短路径问题的算法，它能够处理含有负权边的图，并且能够检测图中是否存在负权回路。
其应用一般分为以下几个方面：
Bellman-Ford算法的主要优点是它能够处理负权边，这是其他最短路径算法（如Dijkstra算法）所不能做到的。然而，它的主要缺点是时间复杂度较高，为O(VE)，其中V是顶点数，E是边数。在实际应用中，如果图中的边数远大于顶点数，Bellman-Ford算法可能不如Dijkstra算法高效。
二、题目与题解
题目一：卡码网 94. 城市间货物运输 I
题目链接
94. 城市间货物运输 I (kamacoder.com)
题解：队列优化Bellman-Ford算法（SPFA）
这题在昨天的打卡中已经有提到一般实现的Bellman-Ford算法，今天这里将用队列优化后的Bellman-Ford算法进行实现。
Bellman - Ford算法实现：
1、创建一个队列q，先将源点加入队列。
2、进入循环，当队列非空时，继续执行以下操作：
（1）从队列中取出队头节点node；
（2）标记该节点已从队列中取出；
（3）遍历当前节点的所有邻接边：
a.如果通过当前节点到达邻接节点的距离更短，则更新最短距离；
b.如果邻接节点不在队列中，则将其加入队列，并标记为已加入。
完整代码如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Edge // 邻接表
{
int to; // 边的指向节点（边链接的节点 -- 邻接节点）
int val; // 边的权重
Edge(int t, int w) : to(t), val(w) {} // 构造函数，初始化边的指向节点和权重
};
int main()
{
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<list<Edge>> grid(n + 1); // 创建一个邻接表，存储图的信息，大小为n+1，因为节点编号从1开始
vector<bool> inQueue(n + 1); // 用于标记节点是否已经在队列中（避免重复添加）
// 将所有边保存起来，构建邻接表
for (int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid[p1].push_back(Edge(p2, val)); // p1指向p2，边权重为val，将边添加到邻接表中
}
int start = 1; // 起点
int end = n; // 终点
vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX); // 初始化最短距离数组，所有节点到源点的最短距离初始为无穷大
minDist[start] = 0; // （除外）源点到自己的距离为0
// 队列优化Bellman-Ford算法
queue<int> q;
q.push(start); //先将起点加入队列
while (!q.empty())
{
int node = q.front(); // 取出队头节点 -- 作为后续邻接边的起始节点
q.pop();
inQueue[node] = false; // 标记该节点已从队列中取出
// 遍历当前节点的所有邻接边 -- 当前节点即是这些边的起始节点
for (Edge edge : grid[node])
{
int from = node;
int to = edge.to;
int value = edge.val;
if (minDist[to] > minDist[from] + value) // 开始松弛：如果通过当前节点到达邻接节点to的距离更短，则更新邻接节点to到源点的最短距离
{
minDist[to] = minDist[from] + value;
if (inQueue[to] == false) // 如果该节点不在队列中，则加入队列，并标记为已加入
{
q.push(to);
inQueue[to] = true;
}
}
}
}
if (minDist[end] == INT_MAX)
cout << "unconnected" << endl; // 不能到达终点
else
cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}题目二：卡码网 95. 城市间货物运输 II
题目链接
95. 城市间货物运输 II (kamacoder.com)
题解： 队列优化Bellman-Ford算法（SPFA）
这题是bellman-ford算法判断负权回路的应用。
和上一题相比较，区别也就在于对负权回路的判断，其余思路保持一致。
故这里有一个关键，即如何判断负权回路：
完整代码如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Edge // 邻接表
{
int to; // 边的指向节点（边链接的节点 -- 邻接节点）
int val; // 边的权重
Edge(int t, int w) : to(t), val(w) {} // 构造函数，初始化边的指向节点和权重
};
int main()
{
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<list<Edge>> grid(n + 1); // 创建一个邻接表，存储图的信息，大小为n+1，因为节点编号从1开始
vector<bool> inQueue(n + 1); // 用于标记节点是否已经在队列中（避免重复添加）
// 将所有边保存起来，构建邻接表
for (int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid[p1].push_back(Edge(p2, val)); // p1指向p2，边权重为val，将边添加到邻接表中
}
int start = 1; // 起点（源点）
int end = n; // 终点
vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);
minDist[start] = 0;
queue<int> q;
q.push(start); // 队列里放入起点
vector<int> count(n + 1, 0); // 创建一个计数器数组，用于记录每个节点加入队列的次数
count[start]++; // 刚放入一次起点，计数+1
bool flag = false; // 设置一个标志，用于标记是否找到了负权回路，初始化为false
while (!q.empty())
{
int node = q.front();
q.pop();
for (Edge edge : grid[node])
{
int from = node;
int to = edge.to;
int value = edge.val;
if (minDist[to] > minDist[from] + value) // 开始松弛：如果通过当前节点到达邻接节点to的距离更短，则更新邻接节点to到源点的最短距
{
minDist[to] = minDist[from] + value;
q.push(to);
count[to]++;
if (count[to] == n) // 关键：如果加入队列次数超过n-1次，就说明该图与负权回路
{
flag = true;
while (!q.empty())
q.pop();
break;
}
}
}
}
if (flag) // 如果存在负权回路，输出"circle"
cout << "circle" << endl;
else if (minDist[end] == INT_MAX)
cout << "unconnected" << endl;
else
cout << minDist[end] << endl;
}
题目三：卡码网 96. 城市间货物运输 III
题目链接
96. 城市间货物运输 III (kamacoder.com)
题解： Bellman-Ford算法
这题是bellman_ford算法解决单源有限最短路问题的应用。
这题Bellman - Ford算法实现的关键在于：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int src, dst, k, p1, p2, val, m, n; // 起点src，终点dst，松弛次数k
cin >> n >> m;
vector<vector<int>> grid; // 创建一个二维向量grid，用于存储图的信息：每个元素都是一条边（包含起始点，终止点，权值）
// 读取所有边，并添加到grid中
for (int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid.push_back({p1, p2, val});
}
cin >> src >> dst >> k;
vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX); // 用于存储从起点到每个节点的最短距离，都初始化为最大值INT_MAX
minDist[src] = 0; // 起点除外，起点到本身的距离为0
vector<int> minDist_copy(n + 1); // 用来记录上一次遍历的结果
// 进行k次松弛操作
for (int i = 1; i <= k + 1; i++)
{
minDist_copy = minDist; // 将上一次计算的结果赋值给minDist_copy：即将当前的minDist数组的内容复制到一个新的数组minDist_copy中
// 遍历所有边，进行松弛操作
for (vector<int> &side : grid)
{
int from = side[0];
int to = side[1];
int price = side[2];
// 注意使用 minDist_copy 来计算 minDist
if (minDist_copy[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist_copy[from] + price)
{
minDist[to] = minDist_copy[from] + price;
}
}
}
if (minDist[dst] == INT_MAX) // 不能到达终点
cout << "unreachable" << endl;
else
cout << minDist[dst] << endl; // 到达终点最短路径
}
三、小结
Bellman_ford算法的打卡到此结束，后边会继续加油！
