【Luogu 3389】【模板】高斯消元法（用高斯消元求解线性方程组）

1、线性方程组

2、高斯消元法

步骤1：通过一系列的加减消元，得到类似 kx=b 的式子，求得最后一个未知量的结果
步骤2：然后逐一回代求解整个 x 向量

以下列方程为例：

第一次加减消元，用第1式子消去后面所有的x得到：

第一次加减消元，用第2个式子消去后面所有的y得到：

这样就完成了高斯消元的步骤1，形成了一个倒三角形的形状，接下来主意回代即可。

3、用矩阵表示高斯消元

（1）消元过程：

（2）无解： 当消元完毕后，发现有一行系数都为 0，但是常数项不为 0，此时无解

例如：

（3）多解： 当消元完毕后，发现有多行系数、常数项均为 0，此时多解，有几行为全为 0，就有几个自由元，即变量的值可以任取，有无数种情况可以满足给出的方程组

例如：

，此时自由元为2个

4、例题：Luogu3389，高斯消元模板

思路：

• 首先我们用第一列中（所有的x中）系数最大的来消其他两个式子。我们将这个选中的系数置为1。(由于最多也只能用double型存储，所以必然会有精度误差。但如果我们每次都选用最大系数的来消掉其他系数，就可以最大程度地来减小误差。）
• 在置为1之后，我们用这个式子去消其他的式子。那么在最后，我们只需要将这个矩阵的最右下角（也就是最后一个元的实际值）不断回带即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 110;
const double eps=1e-7;

int n; double a[maxn][maxn], ans[maxn];
int Gauss(){
  //1. 用第i个式子消去第i个系数，求得倒三角
  for(int i = 1; i <= n; i++){
    //找第i列中系数最大的式子并交换
    int r = i;
    for(int j=i+1; j<=n; j++){
      if(abs(a[r][i])<abs(a[j][i]))r=j;
    }
    if(i!=r)swap(a[i],a[r]);
    
    //如果下面的都是0，则存在多解.(n-i+1)为自由元个数
    if(abs(a[i][i])<eps)return 0;
    
    //用这个式子去消自己和其他的式子
    double div = a[i][i];
    for(int j = i; j <= n+1; j++)a[i][j] /= div;
    for(int j = i+1; j <= n; j++){
      div = a[j][i];
      for(int k = i; k <= n+1; k++)
        a[j][k] -= a[i][k]*div;
    }
  }
  //2. 回代求答案值
  ans[n] = a[n][n+1];
  for(int i = n-1; i >= 1; i--){
    ans[i] = a[i][n+1];
    for(int j = i+1; j <= n; j++)
      ans[i] -= a[i][j]*ans[j];
  }
  return 1;
}

int main(){
  cin>>n;
  for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int j = 1; j <= n+1; j++)
      cin>>a[i][j];
  int ok = Gauss();
  if(ok==1){
    for(int i = 1; i <= n; i++)
      printf("%.2lf\n",ans[i]);
  }else{
    printf("No Solution\n");
  }
  return 0;
}