数据结构与算法－最小生成树之普里姆（Prim)算法-CFANZ编程社区

1. 算法步骤

Prim 算法可以称为“加点法”，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中，算法从某一个顶点开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。

1. 初始化U={u0}，T={ }，其中U为一个新设置的顶点的集合，初始U中只含有顶点u0，这里假设在构造最小生成树时，从顶点u0 出发；

2. 对所有点u属于U集合，点v属于(V减U)集合，两点所构成的边(u,v)中，找一条权最小的边(u',v')，将这条边加入到集合T中，将顶点v' 加入到集合U中；

3. 如果U=V，则算法结束，否则重复以上步骤。最后得到最小生成树 MinT=<V,T>，其中T为最小生成树的边的集合。

数据结构与算法－最小生成树之普里姆（Prim)算法_算法

2. 算法实例

下面是一个无向带权图和对应的邻接矩阵。

数据结构与算法－最小生成树之普里姆（Prim)算法_最小生成树_02

以下是算法实现

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#define maxSize 100
#define infinity 65535
using namespace std;

typedef struct{
    // 存放的顶点
    char vnode[maxSize];
    // 存放边
    int edge[maxSize][maxSize];
    // 顶点和边的数量
    int n, e;
} MGraph;



// 邻接矩阵构造图
void createMGraph(MGraph &G){ 
    int i, j, k, w, n, e;
    cout << "请输入图的顶点数和边数" << endl;
    cin >> G.n >> G.e;
    n = G.n;  
    e = G.e;  
    cout << "输入顶点" << endl;
    for (i = 0; i < n; i++){
        cin >> G.vnode[i];
    };
    for (i = 0; i < n; i++){
        for (j = 0; j < n; j++){
            G.edge[i][j] = infinity;
        }
    };
    cout << "输入边的下标i,j,重权w" << endl;
    for (k = 0; k < e; k++){
        scanf("%d %d %d", &i, &j, &w);
        G.edge[i][j] = w;
        G.edge[j][i] = G.edge[i][j];
    };
   
}


// prim算法求最小生成树
void minSpanTree_prim(MGraph G){ 
    int i, j, min, k;
    // 为0表示顶点已加入最小生成树,否则存放其他边的权值
    int lowcost[maxSize]; 
    // 存放顶点下标,标明顶点是新增顶点,还是之前遍历过的顶点
    int adjvex[maxSize];  
    // 把下标为0的顶点加入到最小生成树
    lowcost[0] = 0;  
    // 首个节点的下标0    
    adjvex[0] = 0; 

    // 循环0下标顶点与其他顶点的连接情况(不从0开始是因为0 0表示自己和自己的环)
    for (i = 1; i < G.n; i++){    
        // 把0下标顶点和其他顶点组成的边的权值存放到lowcost数组中                          
        lowcost[i] = G.edge[0][i]; 
        // 当前lowcost数组中的边的起始顶点全部都是下标为0的顶点,而结束顶点则是lowcost数组中元素下标的顶点
        adjvex[i] = 0;             
    };

    cout << "最小生成树为:" << endl;
    // 循环所有顶点,构造最小生成树
    for (i = 1; i < G.n; i++){     
        // 初始化min,刚开始为一个不可能的极大值              
        min = infinity; 
        j = 1;
        k = 0;
        // 遍历lowcost数组
        while (j < G.n){ 
            // 除去已加入最小生成树的顶点
            if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min){    
                // 找出lowcost数组中最小的权值,并赋值给min                 
                min = lowcost[j]; 
                // 记录最小权值的下标 (这个k其实就是权值最小的那条边的结束顶点)
                k = j;            
            }
            j++;
        };
        // 打印权值最小的那条边的起始顶点和结束顶点
        printf("(%d,%d)\n", adjvex[k], k); 
        // 把k下标的顶点加入到最小生成树
        lowcost[k] = 0;   
        // 遍历顶点                 
        for (j = 1; j < G.n; j++){ 
            // 除去已加入最小生成树的顶点
            if (lowcost[j] != 0 && G.edge[k][j] < lowcost[j]){      
                // 在k结点与其他顶点邻接的权值和lowcost数组中取较小的一方更新lowcost                        
                lowcost[j] = G.edge[k][j]; 
                // 记录较小权值的边的起始顶点下标
                adjvex[j] = k;             
            }
        }
    }
}
int main(){
    MGraph G;
    createMGraph(G);
    minSpanTree_prim(G);
    return 0;
}