【2013 省赛试题】黄金连分数

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• ​​黄金连分数​​

黄金连分数

黄金分割数0.61803是个无理数,这个常数十分重要,在许多工程问题中会出现。有时需要把这个数字求得很精确。我们如何求得黄金分割数的尽可能精确的值呢?

比较简单的一种是用连分数:
                          1
黄金数 = ------------------------
                               1
                1 + ------------------
                                  1
                        1 + -----------
                                      1
                              1 + ------
                                    1+…

这个连分数计算的“层数”越多,它的值越接近黄金分割数。

小数点后3位的值为:0.618
小数点后4位的值为:0.6180
小数点后5位的值为:0.61803
小数点后7位的值为:0.6180340
你的任务是:写出精确到小数点后100位精度的黄金分割值
注意:尾数的四舍五入/尾数是0也要保留!

请你利用这一特性,求出黄金分割数的足够精值,要求四舍五入到小数点后100位

• 经过几个例子的试探，可以发现连分数的计算结果与斐波那契数列很是相似。这样一来结果就可以化成：​​求斐波那契数列相邻两个数的比值​​​

public class Test02_2013黄金连分数 {
    public static void main(String[] args) {
        // 声明两个变量用来存储相邻的两个数
        double a = 1.0;
        double b = 1.0;
        for (int i = 3; i < 100; i++) {
            double t = b;
            b = a+b;
            a = t;
        }
        System.out.println(a/b);
    }
}
0.6180339887498948

显然，结果出来是黄金比例数。但是结果的小数位数并不满足题目要求，我继续将i的取值扩大到300，结果如下图:

可以看到结果的小数位数并没有改变，这是因为​​double浮点型数最小保留至小数点后16位​​，所以其精确度不能够满足条件。为了满足大数据的计算，我们可以使用到java中的​​BigInteger​​和​​BigDecimal​​。

通过使用高精度的API进行计算后，得出的结果应当是小数点后101位，然后四舍五入为100位。

上面曾说过：连分数计算的“层数”越多,它的值越接近黄金分割数。所以​​在这里我们通过增加i的上限，变向的来提高精度​​。在测试的时候可以发现​​i>300​​之后,前100位的数基本就固定不变了。

public static void main(String[] args) {
     // 声明两个变量用来存储相邻的两个数
      BigInteger a = BigInteger.ONE;
      BigInteger b = BigInteger.ONE;
      for (int i = 3; i < 300; i++) {
          BigInteger t = b;
          b = a.add(b);  // BigInteger中数字相加用add()
          a = t;
      }
      // 将整型数转为高精度浮点数
      // 除的时候用divide()
      BigDecimal divide = new BigDecimal(a,110).divide(new BigDecimal(b,110), BigDecimal.ROUND_HALF_DOWN);
      // 输出的时候将其转为字符串，连“0.”，共103位
      System.out.println(divide.toPlainString().substring(0,103));
}

0.61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890244970720720418939113748
最终结果：
0.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911375

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