均差与牛顿插值多项式 --牛顿插值多项式的代码python实现

​​matlab实现数值分析 的 二次插值+拉格朗日插值​​ (拉格朗日插值性能分析)

• 优点：
  运算量小，不涉及矩阵运算； 格式整齐、规范。
• 缺点：
  没有承袭性质：当插值点增/减时， 要重新计算所有的基 函数。

1、均差

二阶均差用到了一阶均差的结果，三阶均差用到了二阶均差的结 果，均差具有承袭性质。

通式：

均差的性质1：节点对称性

若{i0, i1, · · · , ik}为{0, 1, · · · , k}的任一排列，则： f[x0, x1, · · · , xk] = f[xi0

, xi1 , · · · , xik ] 均差的值只与节点有关，与节点的顺序无关，即：每个节点在均

差中的作用和地位是平等的。

均差的性质2：线性组合

均差的性质3：多项式的阶次

若f(x)为m次 多 项 式 ， 则f[x0, x1, · · · , xk-1, x]为（m-k）次 多 项 式，m ≥ k

2、拉格朗日形式 vs. 牛顿形式

3、代码实现n次牛顿插值

算法中间的g[j]=(g[j]-g[j-1])/(xj-xj-1)应为
  g[j] = (g[j] - g[j - 1]) / (X[j] - X[j-k])

参考视频：牛顿插值（Newton插值）速懂
​​​ https://haokan.baidu.com/v?pd=wisenatural&vid=5502744134413524450​​

4、python代码实现

函数及均差表

def myNewTonInterpolation(u, time):
    X = [0.4, 0.55, 0.65, 0.80, 0.90, 1.05]
    Y = [0.41075, 0.57815, 0.69675, 0.88811, 1.02652, 1.25382]
    g = [0] * len(Y)
    g = meanDeviation(g, X, Y, time)
    totalNum = time+1
    fu = Y[0]
    for i in range(1, totalNum):
        t = 1
        for K in range(0, i):
            t = t * (u - X[K])
        fu = fu + t * g[i]
    print("n次插值多项式近视值为 ", fu)
    # 截断误差
    g = meanDeviation(g, X, Y, time+1)
    Rn = g[-1]
    t = 1
    for i in range(len(g)):
        t = t * (u - X[i])
    Rn = Rn * t
    print("截断误差%.9f" % (abs(Rn)))


def meanDeviation(g, X, Y, time):
    totalNum = len(g)
    # initial
    for i in range(totalNum):
        g[i] = Y[i]

    # 计算k阶均差
    for k in range(1, time+1):
        for j in range(totalNum - 1, k - 1, -1):
            g[j] = (g[j] - g[j - 1]) / (X[j] - X[j-k])
        print(k, "阶均差表", g)
    return g


def main():
    myNewTonInterpolation(0.596,4)


main()