洛谷P2085 最小函数值（优先队列）

【题目描述】
有$n$个函数，分别为$F_1,F_2,\dots ,F_n$。定义$F_i(x)=A_i{x}^2+B_{i}x+C_i(x\in \mathbb{N}\ast )$。给定这些$A_i,B_i$和$C_i$，请求出所有函数的所有函数值中最小的$m$个（如有重复的要输出多个）。

【输入格式】
第一行输入两个正整数$n$和$m$。
以下$n$行每行三个正整数，其中第$i$行的三个数分别为$A_i,B_i$和$C_i$。

【输出格式】
输出将这$n$个函数所有可以生成的函数值排序后的前$m$个元素。这$m$个数应该输出到一行，用空格隔开。

【数据范围】
$1\le n,m\le 10000$
$1\le A_i\le 10$
$1\le B_i\le 100$
$1\le C_i\le 10^4$

【输入样例】

3 10
4 5 3
3 4 5
1 7 1

【输出样例】

9 12 12 19 25 29 31 44 45 54

【分析】

假设有两个方程：$A_1{x}^2+B_{1}x+C_1$和$A_2{x}^2+B_{2}x+C_2$，这两个方程自身一定是单调递增的，当$x=1$时一定是每个方程自身的最小值，因此这两个方程的最小值应该是当$x=1$时两个方程的值中的最小值。假设这个值是第一个方程的，那么我们把第一个方程当$x=2$时的值加入考虑范围。因此第二轮时两个方程的最小值一定是在第一个方程当$x=2$时的值以及第二个方程当$x=1$时的值中选，较小的那个即为两个方程的最小值。

因此我们可以构造一个优先队列，先将每个方程当$x=1$时的值存入，然后循环$m$轮，每轮取出队头元素并输出结果，然后将这个值所在的方程的$x$值加一计算出新的值并加入队列即可。

【代码】

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define X first
#define Y second
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<PII, int> PIII;
const int N = 10010;
int a[N], b[N], c[N];
int n, m;
priority_queue<PIII, vector<PIII>, greater<PIII>> Q;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
        Q.push({ { a[i] + b[i] + c[i], 1 }, i });
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        auto t = Q.top();
        Q.pop();
        cout << t.X.X << ' ';
        int x = t.X.Y + 1, id = t.Y;
        Q.push({ { a[id] * x * x + b[id] * x + c[id], x }, id });
    }
    return 0;
}