1.前缀和

1.1前缀和

前缀和表示一个序列的前n项和，理解为数组的话就是从下标为1到n（定义成数组时就从下标为1开始接收该序列），而差分就是前缀和的逆运算，前缀和与差分数组是对应关系。例如数组a的前缀和为数组b，则b的差分数组为数组a。

定于数组a和b，输入a之后，对于前缀和数组b可以有以下循环得到

for(int i=1;i<=n;i++)
{
  b[i]=b[i-1]+a[i];
}

用于求数组a某个区间（例如n1到n2）的和，利用前缀和数组b，直接相减（b[n2]-b[n1-1]）即可得到。普通的方法可能就是从n1循环到n2,将数组a的值累加，每一次不同的区间都需要循环，时间复杂度高。

与一维前缀和类似，一维前缀和可以用一维数组理解，同理二维前缀和可以用二维数组（也就是矩阵）理解

for(int i=1;i<=n;i++)
{
  for(int j=1;j<=m;j++)
  {
    b[i][j]=b[i-1][j]+b[i][j-1]+a[i][j]+b[i-1][j-1];
  }
}

可以求以（n1,m1）为左上角，（n2,m2）为右下角的矩阵和s。

int s=0;
s=b[n2][m2]-b[n1-1][m2]-b[n2][m1-1]+b[n1-1][m1-1];//b[n1-1][m1-1]被减去了两次，所以再加上

差分可以理解为前缀和的逆运算

比如数组a和数组b，数组b是a的前缀和数组，即有a[i]=b[i]-b[i-1]。

对前缀和数组某个区间（n1,n2）的每一个数加上1，可以对差分数组n1处加1，n2-1处减1。即a[n1]+1,a[n2]-1。

以（n1,m1）为左上角，(n2,m2)为右下角的矩阵都加上1，与一维差分类似。对差分数组(n1,m1)处加1，（n2+1,m1）处减1，（n1,m2+1）处减1，（n2+1,m2+1）处加1。（可以画个矩阵，将不同的区间分开单独看，就可以便于理解）