两点之间的距离除过用两点间的距离刻画，还可以使用极坐标和直线的参数方程的参数的几何意义来刻画；
前言
当题目中出现条件\(\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{AB}\)， 一般先想到利用两点间的距离公式，\(|AB|\)\(=\)\(\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)来转化，很明显这个公式中的参数太多，处理起来会非常麻烦；很难首先联系到其实质是 \(|OA|\)\(=\)\(3|AB|\)，那么如何选择合适的途径来刻画距离，应该是我们要关注的；其实此时我们还应该想起来途径二，利用点的极坐标来刻画距离；途径三是利用直线的参数方程的参数的几何意义来刻画距离；具体通过下面的习题说明：
典例剖析
【2022届宝鸡市高三质检一文理数学第22题】 在平面直角坐标系 \(x o y\) 中, 直线 \(l\) 的参数方程为 \(\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=k t\end{array}(t\right.\) 为参数 \()\), 曲线 \(C\) 的参数方程为 \(\left\{\begin{array}{l}x=2+\cos\varphi\\ y=\sin \varphi\end{array}\right.\) ( \(\varphi\) 为参数) , 以坐标原点为极点, \(x\) 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1) 求直线 \(l\) 的普通方程和曲线 \(C\) 的极坐标方程;
解析: (1) 由直线 \(l\) 的参数方程为 \(\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=k t\end{array}\right.\) ( \(t\) 为参数) 得普通方程为 \(y=k x\).
由曲线 \(C\) 的参数方程为 \(\left\{\begin{array}{l}x=2+\cos \varphi \\ y=\sin \varphi\end{array}\right.\) ( \(\varphi\) 为参数)， 可得其普通方程为:
\(x^{2}+y^{2}-4 x+3=0\)， 化为极坐标方程为 \(\rho^{2}-4 \rho \cos \theta+3=0\).
(2) 若直线 \(l\) 和曲线 \(C\) 交于 \(A\)， \(B\) 两点， 且 \(\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{AB}\)， 求实数 \(k\) 的值.
方法一：设直线 \(l\) 的极坐标方程为 \(\theta=\alpha\)， \(A\left(\rho_{1}, \alpha\right)\)， \(B\left(\rho_{2}, \alpha\right)\)，
因为 \(\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{A B}=3(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\)，
所以 \(4\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{OB}\)， 即 \(4\rho_{1}=3\rho_{2}\)，
直线 \(l\) 和曲线 \(C\) 的极坐标方程联立可得: \(\left\{\begin{array}{l}\rho^{2}-4\rho\cos\theta+3=0,\\\theta=\alpha\end{array}\right.\)，
整理得 \(\rho^{2}-4\rho\cos\alpha+3=0\)， \(\Delta=16\cos^{2}\alpha-12>0\)，
则 \(\left\{\begin{array}{l}\rho_{1}+\rho_{2}=4\cos\alpha\\\rho_{1}\rho_{2}=3\\4\rho_{1}=3\rho_{2}\end{array}\right.\)，
得 \(\cos\alpha=\pm\cfrac{7}{8}\)， 均满足\(\Delta>0\)
所以 \(k^{2}=\tan^{2}\alpha=\cfrac{1}{\cos^{2}\alpha}-1=\cfrac{15}{49}\)， 解得 \(k=\pm\cfrac{\sqrt{15}}{7}\) .
方法二：设直线 \(l\) 的参数方程为 \(\left\{\begin{array}{l}x=t\cos\alpha\\y=t\sin\alpha\end{array}\right.\) (\(\mathrm{t}\) 为参数)，
代入 \(x^{2}+y^{2}-4x+3=0\) 中可得: \(t^{2}-4t\cos\alpha+3=0\)，
令 \(\Delta=16\cos^{2}\alpha-12>0\)， 得 \(4\cos^{2}\alpha-3>0\)，
设 \(A\)， \(B\) 两点所对应的参数分别为 \(t_{1}\)， \(t_{2}\)， 则 \(\left\{\begin{array}{l}t_{1}+t_{2}=4\cos\alpha\\t_{1}t_{2}=3\end{array}\right.\)
又 \(\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{AB}\)， 所以 \(t_{1}=\cfrac{3}{4}t_{2}\), 又 \(t_{1}t_{2}=3\)， 所以 \(t_{2}^{2}=4\).
当 \(t_{2}=2\) 时， \(t_{1}=\frac{3}{2}\)， 此时 \(\cos\alpha=\cfrac{7}{8}\) (直线 \(l\) 的倾斜角为锐角)
当 \(t_{2}=-2\) 时, \(t_{1}=-\cfrac{3}{2}\), 此时 \(\cos\alpha=-\cfrac{7}{8}\) (直线 \(l\) 的倾斜角为钝角)
\(\cos\alpha=\pm\cfrac{7}{8}\) 均满足 \(\Delta>0\)， \(k^{2}=\tan^{2}\alpha=\cfrac{1}{\cos^{2}\alpha}-1=\cfrac{15}{49}\)
所以解得 \(k=\pm\cfrac{\sqrt{15}}{7}\) .
