利用找因子来找方程解的个数

有一些方程要求我们求它的正整数解有多少个，现在我们就来解决一些方程。

题目一：HDU1299

题意：给出n的值，求方程

满足条件：x<=y且x，y都是正整数解的个数。

解析：实际上就是先令y=n+k，带入解之：

然后就是求n^2的因子个数问题了。

题目二：HIT2893

题意：设方程是

，输入一个数N，注意N可能为负数，然后求有多少个正整数x，y满足此方程。

解析：跟上题一样的方法。

题目三：NEFU647

题意：

，输入m，n，问有多少个x，y符合此方程，x，y都大于1，x<=y。

解析：本题先对m，n约分，然后可以先变形：

把mx，my当整体，分别是X,Y，然后就跟HDU1299的方法一样，这里要先求出所有因子，求出所有因子后，可以计算出X，Y然后判断对应的X，Y能否都整除m，如果都整除就count++

这里主要想重点说一下如何快速求一个数的因子：

先对要求的数n素因子分解，然后深搜就可以了。

void dfs(LL dep, LL product=1)
{
    if(dep==c)
    {
        arr[cnt++]=product;
        return;
    }
    for(int i=0;i<=a[dep];i++)
    {
        dfs(dep+1,product);
        product*=p[dep];
    }
}

题目四：SPOJ1434 

题意：对于方程

，输入N，求有多少个x，y满足此方程，其中x<=y.

解析：我就不说跟上面的题是一样的方法了，注意N！可以很大，用Java的BigInteger做。

题目五：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1165

题意：给定一直角三角形的周长L，求有多少个这样的直角三角形。注意这里数据很多，50000组，且L<10^7

分析：

由：

，消去z得到：

，把x，y，z都表示出来后发现只要y是整数，那么x，z也就是整数了。我们进一步令

，我们得到：

，根据x，y，z的范围我们可以确定出k的范围满足

，所以问题就转化为求

因子fac中满足条件

的个数。