时间复杂度分析

算法复杂度主要从时间、空间两个角度评价：

• 时间：假设运行时间固定，统计算法运行的「计算操作的数量」，以代表算法运行所需时间；
• 空间：统计在最差情况下，算法运行所需使用的「最大空间」

常见种类
根据从小到大排列，常见算法 时间 复杂度主要有：
O(1) < O(logN) < O(N) < O(NlogN) < O(N²) < O(2^N) < O(N!)

O(1)：
1）运行次数与N大小呈常数关系:

int algorithm(int N) {
    int a = 1;
    int b = 2;
    int x = a * b + N;
    return 1;
}

2）以下代码，无论 a 取多大，都与输入数据大小 N 无关:

int algorithm(int N) {
    int count = 0;
    int a = 10000;
    for (int i = 0; i < a; i++) {
        count++;
    }
    return count;
}

O(N):

1）阶乘（N !=1×2×3×…×N）：

int algorithm(int N){
    if(N==2)
    	return 3;
    else
    	return algorithm(N-1)*4;
}

2）对于以下代码，虽然是两层循环，但第二层与 N大小无关，因此整体仍与 N呈线性关系：

int algorithm(int N) {
    int count = 0;
    int a = 10000;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < a; j++) {
            count++;
        }
    }
    return count;
}

O(N²):

1）两层循环相互独立，都与 N 呈线性关系：

int algorithm(int N) {
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            count++;
        }
    }
    return count;
}

2）冒泡排序（冒泡排序的总体时间复杂度为 O(N²)）
算法思路：

1. 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换它们两个；
2. 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对，这样在最后的元素应该会是最大的数；
3. 针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个；

代码实现：

int[] bubbleSort(int[] nums) {
    int N = nums.length;
    for (int i = 0; i < N - 1; i++) {
        for (int j = 0; j < N - 1 - i; j++) {
            if (nums[j] > nums[j + 1]) {
            //交换数据
                int tmp = nums[j];
                nums[j] = nums[j + 1];
                nums[j + 1] = tmp;
            }
        }
    }
    return nums;
}

O(2^N):
算法中，指数阶常出现于递归，代码如下：

int algorithm(int N) {
    if (N <= 0) 
        return 1;
    int count_1 = algorithm(N - 1);
    int count_2 = algorithm(N - 1);
    return count_1 + count_2;
}

O(N!) ：
阶乘阶对应数学上常见的 “全排列” 。即给定 N 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，则方案数量为：N (N - 1) × (N - 2) × … × 2 × 1 =N !
阶乘常使用递归实现，算法原理：第一层分裂出 N个，第二层分裂出 N - 1个，…… ，直至到第 N 层时终止并回溯。

int algorithm(int N) {
    if (N <= 0) return 1;    
        int count = 0;    
    for (int i = 0; i < N; i++) {        
        count += algorithm(N - 1);    
    }    
    return count;
}

O(logN) ：
对数阶与指数阶相反，指数阶为 “每轮分裂出两倍的情况” ，而对数阶是 “每轮排除一半的情况” 。对数阶常出现于「二分法」、「分治」等算法中，体现着 “一分为二” 或 “一分为多” 的算法思想。

设循环次数为 m ，则输入数据大小 N 与 2 ^m呈线性关系，两边同时取 log₂对数，则得到循环次数 m与 log₂N呈线性关系，即时间复杂度为 O(logN)。

int algorithm(int N) {
    int count = 0;
    float i = N;
    while (i > 1) {
        i = i / 2;
        count++;
    }
    return count;
}