2020年第十一届蓝桥杯省赛第一场C/C++B组题解 试题E: 矩阵

一、问题描述

二、问题分析

  看到题目可能不知道可以用动态规划，但其实每次放入一个数都跟前面的状态有关，所以可以用动态规划。

• 确定dp数组及下标的含义： $dp[i][j]$ 表示第一行放入 $i$ 个数，第二行放入 $j$ 个数的方案数
• 确定递推公式： $dp[i][j]$ 可以从 $dp[i-1][j]$ 推导过来，也可以从 $dp[i][j-1]$ 推导来，递推公式：$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]$
• 初始化dp数组：从递推公式可以看出要初始化 $dp[0][j]$ 和 $dp[i][0]$，这里要注意第一行的个数不能小于第二行的个数，不然第二行存在数字上方没有数字不符合要求，所以$dp[0][j]=0$。当第一行有 $i$ 个数而第二行0个数，方案就一种，所以$dp[i][0]=1$

三、代码实现

// Dev-C++ 5.4.0
#include<iostream>
using namespace std;

const int n = 1010;
int dp[n+1][n+1];

int main() {
	for (int j = 0; j <= 1010; j++) dp[0][j] = 0; // 初始化
	for (int i = 0; i <= 1010; i++) dp[i][0] = 1; // 初始化
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= i; j++) {
			dp[i][j] = (dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]) % 2020;
		}
	}
	cout << dp[n][n];
	return 0;
}
// 答案：1340