数据结构-初识树和二叉树（类C语言版）

树的定义

树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集。

若n = 0 ，称为空树。

若n > 0，则它满足如下两个条件：

（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；

（2）其余结点可分为m（m≥0）个互不相交的有限集T1, T2, T3, …, Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并称为根的子树（SubTree）。

树的递归表示

树是n个结点的有限集。显然，树的定义是一个递归的定义。

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树的其他表示方式

树的基本术语

树结构和线性结构的比较

二叉树的概念

二叉树的定义

二叉树是n（n≥0）个结点的有限集，它或者是空集（n = 0），或者由一个根节点及两棵互不相交的分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点

1.每个结点最多有俩孩子（二叉树中不存在度大于2的结点）。

2.子树有左右之分，其次序不能颠倒。

3.二叉树可以是空集合，根可以有空的左子树或空的右子树。

注意

二叉树不是树的特殊情况，它们是两个概念。

二叉树结点的子树要区分左子树和右子树，即使只有一棵子树也要进行区分，说明它是左子树，还是右子树。

树当结点只有一个孩子时，就无须区分它是左还是右的次序。因此二者是不同的。这是二叉树与树的最主要的差别。

（也就是二叉树每个结点位置或者说次序都是固定的，可以是空，但是不可以说它没有位置，而树的结点位置是相对于别的结点来说的，没有别的结点时，它就无所谓左右了）

二叉树的基本形态

树有两种形态：

二叉树有五种基本形态：

注：虽然二叉树与树概念不同，但有关树的基本术语对二叉树都适用。

树的抽象类型定义

二叉树的抽象数据类型定义

两种特殊形式的二叉树

满二叉树

一棵深度为k且有2^k-1个结点的二叉树称为满二叉树。

特点：

1.每一层上的结点数都是最大结点数（即每层都满）；

2.叶子结点全部在最底层。

对满二叉树结点位置进行编号，编号规则：从根节点开始，自上而下，自左而右，每一结点位置都有元素。

完全二叉树

深度为k的具有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。

二叉树的性质

性质1

在二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点（i≥1）。

证：采用归纳法证明此性质

归纳基：当i = 1时，只有一个根节点，2^i-1= 2⁰ = 1，命题成立。

归纳假设：设对所有的 j(1≤j<i)，命题成立，即第 j 层上至多有2^j-1个结点。那么可以证明 j = i 时命题也成立。

归纳证明：由归纳假设可知，第 i - 1层上至多有2^i-2个结点。由于二叉树每个结点的度最大为2，故在第 i 层上最大结点数为第 i -1层上最大结点数的2倍，即：2 * 2^i-2 = 2^i-1。

证毕。

性质2

深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k≥1）。

深度为k时至少有k个结点。

证

由性质1可知，深度为k的二叉树的最大结点数为：

证毕。

性质3

对任何一棵二叉树T，如果其叶子数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀ = n₂ + 1。

总边数为B：B = n - 1 = B = n₂ * 2 + n₁ * 1

总结点数为n：n = n₂ + 1 又 n = n₂ + n₀

性质4

具有n个结点的完全二叉树的深度为log₂n + 1。

性质4表明了完全二叉树结点数n与完全二叉树深度k之间的关系。

性质5

如果对一棵有n个结点的完全二叉树（深度为log₂n + 1 ）的结点按层序编号（从1层到第log₂n + 1层，每层从左到右），则对任一结点i（1≤i≤n），有：

（1）如果i = 1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i > 1，则其双亲是结点i / 2。

（2）如果2i > n，则结点 i 为叶子结点，无左孩子；否则，其左孩子是结点2i。

（3）如果2i + 1 > n，则结点 i 无右孩子；否则，其右孩子是结点2i + 1。

二叉树的存储结构

顺序存储结构

实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素。

//-----二叉树的顺序存储表示－－－－－
#define MAXTSIZE 100  // 二叉树的最大结点数
typedef TElemType SqBiTree [MAXTSIZE];  //0 号单元存储根结点
SqBiTree bt;

二叉树顺序存储缺点

最坏情况：深度为k的且只有k个结点的单支树需要长度为2^k -1的一维数组。

特点：结点间关系蕴含在其存储位置中，浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树。

链式存储结构

// - - - - -二叉树的二叉链表存储表示－ －－－－
typedef struct BiTNode{ 
  TElemType data;   //结点数据域
  struct BiTNode *lchild,*rchild;   //左右孩子指针
) BiTNode,*BiTree;

练习

在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域。

分析：必有2n个链域。除根节点外，每个结点有且仅有一个双亲，所以只会有n-1个结点的链域存放指针，指向非空子女结点。

空指针数目= 2n -(n-1) = n+1

三叉链表