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【LeetCode343】剪绳子(动态规划)

北溟有渔夫 2022-02-01 阅读 55

一、题目

在这里插入图片描述

二、思路

(1)确定状态
dp[i]是将正整数i拆成2个及其以上的正整数后,求所有数的乘积值。

(2)状态转移方程
当 i≥2 时,假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j(1≤j<i),则有以下两种方案:
1)将 i 拆分成 j 和 i−j 的和,且 i−j 不再拆分成多个正整数,此时的乘积是 j×(i−j);
2)将 i 拆分成 j 和 i−j 的和,且 i−j 继续拆分成多个正整数,此时的乘积是 j×dp[i−j]。
因此,当 j 固定时,有 d p [ i ] = m a x ( j × ( i − j ) , j × d p [ i − j ] ) dp[i]=max(j×(i−j),j×dp[i−j]) dp[i]=max(j×(ij),j×dp[ij])由于 j 的取值范围是 1 到 i−1,需要遍历所有的 j 得到 dp[i] 的最大值,因此可以得到状态转移方程如下: d p [ i ] = max ⁡ 1 ≤ j < i ( j × ( i − j ) , j × d p [ i − j ] ) d p[i]=\max _{1 \leq j<i}(j \times(i-j), j \times d p[i-j]) dp[i]=1j<imax(j×(ij),j×dp[ij])

最终得到 dp[n] 的值即为将正整数 n 拆分成至少两个正整数的和之后,这些正整数的最大乘积。

(3)边界+初始条件
边界条件: 0 不是正整数,1 是最小的正整数,0 和 1 都不能拆分,因此 dp[0]=dp[1]=0。

(4)计算顺序
从小到大。

三、C++代码

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        vector<int>dp(n + 1);
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j < i; j++){
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
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