一、题目
二、思路
(1)确定状态
dp[i]
是将正整数i
拆成2个及其以上的正整数后,求所有数的乘积值。
(2)状态转移方程
当 i≥2 时,假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j(1≤j<i),则有以下两种方案:
1)将 i 拆分成 j 和 i−j 的和,且 i−j 不再拆分成多个正整数,此时的乘积是 j×(i−j);
2)将 i 拆分成 j 和 i−j 的和,且 i−j 继续拆分成多个正整数,此时的乘积是 j×dp[i−j]。
因此,当 j 固定时,有
d
p
[
i
]
=
m
a
x
(
j
×
(
i
−
j
)
,
j
×
d
p
[
i
−
j
]
)
dp[i]=max(j×(i−j),j×dp[i−j])
dp[i]=max(j×(i−j),j×dp[i−j])由于 j 的取值范围是 1 到 i−1,需要遍历所有的 j 得到 dp[i] 的最大值,因此可以得到状态转移方程如下:
d
p
[
i
]
=
max
1
≤
j
<
i
(
j
×
(
i
−
j
)
,
j
×
d
p
[
i
−
j
]
)
d p[i]=\max _{1 \leq j<i}(j \times(i-j), j \times d p[i-j])
dp[i]=1≤j<imax(j×(i−j),j×dp[i−j])
最终得到 dp[n] 的值即为将正整数 n 拆分成至少两个正整数的和之后,这些正整数的最大乘积。
(3)边界+初始条件
边界条件: 0 不是正整数,1 是最小的正整数,0 和 1 都不能拆分,因此 dp[0]=dp[1]=0。
(4)计算顺序
从小到大。
三、C++代码
class Solution {
public:
int cuttingRope(int n) {
vector<int>dp(n + 1);
for(int i = 2; i <= n; i++){
for(int j = 1; j < i; j++){
dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
}
}
return dp[n];
}
};