【集训队作业2018】普通的计数题（牛顿迭代）（微分方程）（多项式全家桶）

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• 首先完成模型转换：一个 1 操作的点向消去的连边，那么有可能连的全部是 0 边，或是有一些 1 边和 0 边，发现这个就是一棵树，结点满足大的在上，如果一个点的儿子全是叶子，那么儿子个数，否则叶子儿子个数
• 我们直接暴力上，树的记为，集合的记为
  为了方便我们强行往中填一个 0，那么显然有
  
  即解一个微分方程，假设已经求得使得
  ，泰勒展开，
  有，注意到我们可以构造一个函数使得，那么
  于是我们将方程两边乘上再积分得
  
  这样就可以迭代了，复杂度

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
#define poly vector<int>
#define pb push_back
using namespace std;
int read(){
  int cnt=0, f=1; char ch=0;
  while(!isdigit(ch)){ ch=getchar(); if(ch=='-') f=-1; }
  while(isdigit(ch)) cnt=cnt*10+(ch-'0'), ch=getchar();
  return cnt*f;
}
cs int Mod = 998244353;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; }
int dec(int a, int b){ return a - b < 0 ? a - b + Mod : a - b; }
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod; }
int ksm(int a, int b){ int as=1; for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) as=mul(as,a); return as; }
void Add(int &a, int b){ a = add(a, b); }
void Mul(int &a, int b){ a = mul(a, b); }
void Dec(int &a, int b){ a = dec(a, b); }
cs int N = 2e5 + 50;
cs int M = 1 << 18 | 5;
cs int K = 18;
int n, ifac[N], fac[N], iv[M];
void pre_work(int n){
  iv[0]=iv[1]=fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1; 
  for(int i=2; i<=(1<<K); i++) iv[i]=mul(Mod-Mod/i,iv[Mod%i]);
  for(int i=2; i<=n; i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i), ifac[i]=mul(ifac[i-1],iv[i]);
}
poly w[K+1];
int up, bit; poly rev;
void output(poly a){
  for(int i=0; i<a.size(); i++) cout<<a[i]<<" "; puts("");
}
void init(int deg){
  up=1, bit=0; while(up<deg) up<<=1,++bit; rev.resize(up); 
  for(int i=0; i<up; i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
}
void NTT_init(){
  for(int i=1; i<=K; i++) w[i].resize(1<<(i-1));
  int wn=ksm(3,(Mod-1)/(1<<K)); w[K][0]=1;
  for(int i=1; i<(1<<(K-1)); i++) w[K][i]=mul(w[K][i-1],wn);
  for(int i=K-1;i;i--)for(int j=0;j<(1<<(i-1));j++) w[i][j]=w[i+1][j<<1];
}
void NTT(poly &a, int typ=1){
  for(int i=0; i<up; i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
  for(int i=1,l=1; i<up; i<<=1,++l)
  for(int j=0; j<up; j+=(i<<1))
  for(int k=0; k<i; k++){
    int x=a[k+j], y=mul(w[l][k],a[k+j+i]);
    a[k+j]=add(x,y); a[k+j+i]=dec(x,y);
  } 
  if(typ==-1){
    reverse(a.begin()+1,a.end());
    for(int i=0; i<up; i++) Mul(a[i],iv[up]); 
  }
}
poly operator * (poly a, poly b){
  int deg=a.size()+b.size()-1; init(deg);
  a.resize(up); b.resize(up); NTT(a); NTT(b);
  for(int i=0; i<up; i++) Mul(a[i],b[i]); NTT(a,-1); 
  a.resize(deg); return a;
}
poly inv(poly a, int deg){
  poly b(1,ksm(a[0],Mod-2)),c;
  for(int lim=4; lim<(deg<<2); lim<<=1){
    c.resize(lim>>1); init(lim);
    for(int i=0; i<(lim>>1); i++) c[i]=i<(int)a.size()?a[i]:0;
    b.resize(up); c.resize(up); NTT(b); NTT(c);
    for(int i=0; i<up; i++) Mul(b[i],dec(2,mul(b[i],c[i])));
    NTT(b,-1); b.resize(lim>>1);
  } b.resize(deg); return b;
}
poly integ(poly a){
  a.pb(0);
  for(int i=a.size()-1;i;i--) a[i]=mul(iv[i],a[i-1]);
  a[0]=0; return a;
}
poly deriv(poly a){
  for(int i=0; i+1<(int)a.size(); i++) a[i]=mul(a[i+1],i+1);
  a.pop_back(); return a;
}
poly ln(poly a, int deg){
  a=integ(inv(a,deg)*deriv(a)); 
  a.resize(deg); return a;
}
poly Exp(poly a, int deg){
  poly b(1,1), c;
  for(int lim=2; lim<(deg<<1); lim<<=1){
    c=ln(b,lim); Dec(c[0],1);
    for(int i=0; i<lim; i++) c[i]=dec(i<(int)a.size()?a[i]:0,c[i]);
    b=b*c; b.resize(lim);
  } b.resize(deg); return b;
}
poly C, D;
void input(){
  int ma=read(), mb=read(); poly A(n+1,0), B(n+1,0); 
  while(ma--){ int x=read(); A[x]=ifac[x]; }
  while(mb--){ int x=read(); B[x]=ifac[x]; }
  B[0]=1; D.resize(n+1); C.resize(n);
  for(int i=0; i<=n; i++) D[i]=dec(B[i],A[i]); 
  for(int i=0; i<n; i++) C[i]=(i&1)?ifac[i]:Mod-ifac[i];
  C=C*A; C.resize(n+1);
}
poly Newton(int lim){
  if(lim==1) return poly(1,0);
  poly f0=Newton((lim+1)>>1);
  poly H=C; H.resize(lim); H=H*Exp(f0,lim);
  H.resize(lim); poly v=Exp(integ(H),lim);
  Dec(f0[0],1); H=H*f0; H.resize(lim);
  for(int i=0;i<lim;i++) Add(H[i],D[i]);
  poly f=integ(v*H); f.resize(lim);
  f=f*inv(v,lim); f.resize(lim);
  return f;
}
int main(){
  n=read(); 
  pre_work(n+5); NTT_init();
  input(); poly f=Newton(n+1);
  cout<<mul(fac[n],f[n]); return 0;
}