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快速幂取模算法

 
快速幂取模 是一种常用的算法,这里总结下。
求a^b%c(这就是著名的RSA公钥的加密方法),当a,b很大时,直接求解这个问题不太可能 
算法1:利用公式a*b%c=((a%c)*b)%c,这样每一步都进行这种处理,这就解决了a^b可能太大存不下的问题,但这个算法的时间复杂度依然没有得到优化
代码如下:


int Mod1(int a,int b,int n)     
{
int cnt = 1;
while (b--)
{
cnt = a * cnt % n;
}
return cnt;
} </span>

算法2:另一种算法利用了二分的思想,可以达到O(logn)。

可以把b按二进制展开为:b = p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +…+   p(1)*2  +  p(0)

其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1


这样 a^b =  a^ (p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +...+  p(1)*2  +  p(0))

               =  a^(p(n)*2^n)  *  a^(p(n-1)*2^(n-1))  *...*  a^(p(1)*2)  *  a^p(0)

对于p(i)=0的情况, a^(p(i) * 2^(i-1) ) =  a^0  =  1,不用处理

我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况

化简:a^(2^i)  = a^(2^(i-1)  * 2) = (  a^(  p(i)  *  2^(i-1)  )  )^2

(这里很重要!!具体请参阅秦九韶算法:​​http://baike.baidu.com/view/1431260.htm​​)



利用这一点,我们可以递推地算出所有的a^(2^i)
当然由算法1的结论,我们加上取模运算:
a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1)))  %c
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果, 即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位



实例代码:递归



int Mod2(int a,int b,int n)
{
int t = 1;
if(b == 0)
return 1;
if(b == 1)
return a%n;
t=Mod2(a, b>>1, n);
t=t*t%n;
if (b&1)
{
t = t*a % n;
}
return t;
}

实例代码2:非递归优化 :


int Mod3(int a,int b,int y)
{
int cnt=1;
while(b)
{
if(b&1) cnt=cnt*a%y;
a=a*a%y;
b>>=1;
}
return cnt;
}








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