快速幂取模

利用二进制扫描的方法快速的计算ab mod c，显然用常规方法计算74237 mod 4233计算量过大。

基本原理：（a×b）mod c=((a mod c)×b）mod c

例如：35 mod 7=3(101)2 mod 7=((3(100)2 mod 7)×3）mod 7=((9(10)2 mod 7)×3）mod 7=(((9 mod 7)(10)2 mod 7)×3）mod 7=((2(10)2 mod 7)×3）mod 7=((4(1)2 mod 7)×3）mod 7=(4×3）mod 7=5

实现代码如下（C语言版）:

int exp_mod(int a,int b,int n){
  int r=1;
  while(b){
    if(b&1)
    r=(r*a)%n;
    a=(a*a)%n;
    b>>=1;    
  }
  return r;
}

时间复杂度分析：若a、b、n都是β位数，则所需算术运算的次数是O(β)，所需位操作总次数是O(β3).

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因为进位对个位不影响，积的取余等于取余的积取余.

#include<stdio.h>

int PowerMod(int a, int b, int c)
{

    int ans = 1;
    int k = a % c;
    while(b>0)//(k*k % c)2^b %c
    {
    if(b % 2 == 1)//如果是奇数
    ans = (ans * k) % c;
    b = b/2;
    k = (k * k) % c;//k是不断代入，以代表每一次降一次幂
    }
return ans;

}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        int ans=PowerMod(n,n,10);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

1.如果b是偶数，我们可以记k = a2 mod c，那么求(k)b/2 mod c就可以了。

2.如果b是奇数，我们也可以记k = a2 mod c，那么求

((k)b/2 mod c × a ) mod c =((k)b/2 mod c * a) mod c 就可以了。

那么我们可以得到以下算法：

算法4：

int ans = 1;
 a = a % c;
 if(b%2==1)
 ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中
 k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a
 for(int i = 1;i<=b/2;i++)
{
 ans = (ans * k) % c;
}
 ans = ans % c;

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过

ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。

形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。

算法5：快速幂算法:

int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
 
 if(b % 2 == 1)
 ans = (ans * a) % c;
 b = b/2;
 a = (a * a) % c;
}

将上述的代码结构化，也就是写成函数：

int PowerMod(int a, int b, int c)
{
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
 
 if(b % 2 = = 1)
 ans = (ans * a) % c;
 b = b/2;
 a = (a * a) % c;
}
return ans;
}

本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。