[动态规划]BM82 买卖股票的最好时机(三)-较难

​​BM82 买卖股票的最好时机​​

知识点​​动态规划​​

描述

假设你有一个数组prices，长度为n，其中prices[i]是某只股票在第i天的价格，请根据这个价格数组，返回买卖股票能获得的最大收益

1. 你最多可以对该股票有两笔交易操作，一笔交易代表着一次买入与一次卖出，但是再次购买前必须卖出之前的股票

2. 如果不能获取收益，请返回0

3. 假设买入卖出均无手续费

数据范围：，股票的价格满足 要求: 空间复杂度 ，时间复杂度 进阶：空间复杂度 ，时间复杂度 

示例1

输入：

[8,9,3,5,1,3]

复制返回值：

4

复制说明：

第三天(股票价格=3)买进，第四天(股票价格=5)卖出，收益为2
第五天(股票价格=1)买进，第六天(股票价格=3)卖出，收益为2
总收益为4。

示例2

输入：

[9,8,4,1]

复制返回值：

0

复制

示例3

输入：

[1,2,8,3,8]

复制返回值：

12

复制说明：

第一笔股票交易在第一天买进，第三天卖出；第二笔股票交易在第四天买进，第五天卖出；总收益为12。
因最多只可以同时持有一只股票，所以不能在第一天进行第一笔股票交易的买进操作，又在第二天进行第二笔股票交易的买进操作（此时第一笔股票交易还没卖出），最后两笔股票交易同时在第三天卖出，也即以上操作不满足题目要求。

题解

以下题解分析及代码均来自于牛客网官方题解。

思路：

这道题与​​BM80.买卖股票的最好时机(一)​​的区别在于最多可以买入卖出2次，那实际上相当于它的状态多了几个，对于每天有到此为止的最大收益和持股情况两个状态，持股情况有了5种变化，我们用：

• 表示到第i天为止没有买过股票的最大收益
• 表示到第i天为止买过一次股票还没有卖出的最大收益
• 表示到第i天为止买过一次也卖出过一次股票的最大收益
• 表示到第i天为止买过两次只卖出过一次股票的最大收益
• 表示到第i天为止买过两次同时也买出过两次股票的最大收益

于是使用动态规划，有了如下的状态转移

具体做法：

• step 1：（初始状态）与上述提到的题类似，第0天有买入了和没有买两种状态：、。
• step 2：状态转移：对于后续的每一天，如果当天还是状态0，则与前一天相同，没有区别；
• step 3：如果当天状态为1，可能是之前买过了或者当天才第一次买入，选取较大值：；
• step 4：如果当天状态是2，那必须是在1的状态下（已经买入了一次）当天卖出第一次，或者早在之前就卖出只是还没买入第二次，选取较大值：；
• step 5：如果当天状态是3，那必须是在2的状态下（已经卖出了第一次）当天买入了第二次，或者早在之前就买入了第二次，只是还没卖出，选取较大值：;
• step 6：如果当天是状态4，那必须是在3的状态下（已经买入了第二次）当天再卖出第二次，或者早在之前就卖出了第二次，选取较大值：。
• step 7：最后我们还要从0、第一次卖出、第二次卖出中选取最大值，因为有可能没有收益，也有可能只交易一次收益最大。

图示：

ps：因为状态转移的时候，辅助数组只使用到了第i列和第i-1列，因此可以不使用数组，直接用变量代替，优化空间复杂度。

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        //初始化dp为最小
        vector<vector<int> > dp(n, vector<int>(5, -10000)); 
        //第0天不持有状态
        dp[0][0] = 0; 
        //第0天持有股票
        dp[0][1] = -prices[0]; 
        //状态转移
        for(int i = 1; i < n; i++){ 
            dp[i][0] = dp[i - 1][0]; 
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }
        //选取最大值，可以只操作一次
        return max(dp[n - 1][2], max(0, dp[n - 1][4])); 
    }
};