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【刷穿 LeetCode】789. 逃脱阻碍者 : 详解为何能转化为曼哈顿距离求解

题目描述

这是 LeetCode 上的 ​​789. 逃脱阻碍者​​ ,难度为 中等

Tag : 「数学」

你在进行一个简化版的吃豆人游戏。你从 [0, 0] 点开始出发,你的目的地是 target = [xtarget, ytarget] 。地图上有一些阻碍者,以数组 ghosts 给出,第 i 个阻碍者从 ghosts[i] = [xi, yi] 出发。所有输入均为 整数坐标 。

每一回合,你和阻碍者们可以同时向东,西,南,北四个方向移动,每次可以移动到距离原位置 1 个单位 的新位置。当然,也可以选择 不动 。所有动作 同时 发生。

如果你可以在任何阻碍者抓住你 之前 到达目的地(阻碍者可以采取任意行动方式),则被视为逃脱成功。如果你和阻碍者同时到达了一个位置(包括目的地)都不算是逃脱成功。

只有在你有可能成功逃脱时,输出 true ;否则,输出 false 。

示例 1:

输入:ghosts = [[1,0],[0,3]], target = [0,1]

输出:true

解释:你可以直接一步到达目的地 (0,1) ,在 (1, 0) 或者 (0, 3) 位置的阻碍者都不可能抓住你。

示例 2:

输入:ghosts = [[1,0]], target = [2,0]

输出:false

解释:你需要走到位于 (2, 0) 的目的地,但是在 (1, 0) 的阻碍者位于你和目的地之间。

示例 3:

输入:ghosts = [[2,0]], target = [1,0]

输出:false

解释:阻碍者可以和你同时达到目的地。

示例 4:

输入:ghosts = [[5,0],[-10,-2],[0,-5],[-2,-2],[-7,1]], target = [7,7]

输出:false

示例 5:

输入:ghosts = [[-1,0],[0,1],[-1,0],[0,1],[-1,0]], target = [0,0]

输出:true

提示:

  • 1 <= ghosts.length <= 100
  • ghosts[i].length == 2
  • -<= xi, yi <=
  • 同一位置可能有 多个阻碍者 。
  • target.length == 2
  • -<= xtarget, ytarget <=

数学

从数据范围 且每次只能移动一个单位(或不移动)就注定了不能使用朴素的 ​​​BFS​​ 进行求解。

朴素的 ​​BFS​​​ 是指每次在玩家移动一步前,先将阻碍者可以一步到达的位置“置灰”(即设为永不可达),然后判断玩家是否能够到达 。

朴素 ​​BFS​​​ 本质是模拟,由于棋盘足够大,步长只有 ,因此该做法显然会 TLE。

是否有比模拟更快的做法呢?

根据「树的直径」类似的证明,我们可以证明出「如果一个阻碍者能够抓到玩家,必然不会比玩家更晚到达终点」。

为了方便,我们设玩家起点、阻碍者起点、终点分别为 、 和 ,计算两点距离的函数为 。

假设玩家从 到 的路径中会经过点 ,当且仅当 ,即「阻碍者起点与点 的距离」小于等于「玩家起点与点 的距离」时,阻碍者可以在点 抓到玩家。

由于「玩家到终点」以及「阻碍者到终点」的路径存在公共部分 ,可推导出:

即得证 如果一个阻碍者能够抓到玩家,那么该阻碍者必然不会比玩家更晚到达终点。

由于步长为 ,且移动规则为上下左右四联通方向,因此 的实现为计算两点的曼哈顿距离。

代码:

class Solution {
int dist(int x1, int y1, int x2, int y2) {
return Math.abs(x1 - x2) + Math.abs(y1 - y2);
}
public boolean escapeGhosts(int[][] gs, int[] t) {
int cur = dist(0, 0, t[0], t[1]);
for (int[] g : gs) {
if (dist(g[0], g[1], t[0], t[1]) <= cur) return false;
}
return true;
}
}
  • 时间复杂度:令长度为,计算曼哈顿距离复杂度为,整体复杂度为
  • 空间复杂度:

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.789​​ 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:​​github.com/SharingSour…​​

在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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