线性代数之极大无关组的求法
注：行列式常见计算方法链接汇总
三角法 、 降阶法 、迭代法 、拆分凑项法 、升阶法
极大无关组的定义
假设有向量组A：
的部分组
(这里k小于等于m，可从向量组里挑选)满足如下条件：
- 部分组之间线性无关
- 向量组里每个向量均可由该部分组线性表示。
- 该向量组的向量个数最大
则称这样的部分向量组为极大线性无关组。不难发现，极大无关组有如下特点:
- 任意两个极大无关组含向量个数是相同的。
- 极大无关组不唯一
极大无关组的求法
向量组的极大无关组可通过试探（添加）法、淘汰法、初等变换法求解，本文将通过例子详细介绍求解的方法和步骤。
初等变换法
已知矩阵向量组
求其该向量组的的极大无关组和其它向量的线性表出。详细步骤见下：
则这里箭头执行的列向量
为极大无关组，而
初等变换法步骤总结
Step1：原向量不论是行、还是列的，均按照列组成矩阵A
Step2：仅实施行初等变换，将矩阵A变成行简化阶梯型
Step3：首非零元所在的列即为极大无关组
Step4：其余向量按照列的倍数直接写出关系式
添加试探法
该法主要是逐个添加向量形成向量组，然后对向量组的无关性进行判断，如果无关则保留，相关则剔除，直至试探完所有的向量。详细见下例：
求向量组的一个极大无关组
解：
Step1：将
作为一组，对他们按照线性无关进行观察，因为两个向量对应元素不成比例，所以线性无关
Step2： 此时将 
纳入向量组，即
作为整体来考察线性无关性，此时我们可以联立方程
，即通过求解该方程里的未知数来得出他们的线性相关性，如果无解，则说明线性相关，反之则线性无关。这里得出
,即
线性相关。所以考察的向量组里剔除
。
Step3：此时将 
纳入向量组,即
作为整体来考察线性无关性，按照类似Step2里方法知
线性无关。
Step4：此时再将 
纳入向量组,不难发现
，即
线性表示。
Step5：综上所述
是其中一个极大无关组。
注：这里极大无关组不唯一，这里只是其中一个。
排除法
该方法是通过线性方程组零解得唯一性来检验线性相关性，如果只有非零解则线性无关，如果有非零解则线性相关。
求下列向量组的一组极大无关组：
详细步骤见下：
Step1：所有的向量都加入向量组，考察线性方程组解的情况，则有下式：
，这里可以得到有非零解，即
，那么我们可以得知
是线性相关的，即
这里即带入对应的x值即得出该结论。
Step2：这时去掉 ，按照Step1的思路利用线性方程组考察
的相关性，即考察
里x解的情况，这时发现有非零解
，即
。
Step3：这时去掉 ,加入 ，即考察
里x解的情况，这时发现方程只有零解，那么
线性无关，所以
就是当前向量组的极大无关组，也即是该向量组的一组基。
补充说明
1) 添加试探法、排除法因为操作的顺序不同，所以基(极大无关组)也会不同，但是基的个数，维数是相同的。
2) 针对初等变化法一般我们以列构成矩阵只做行变换，如果我们以行构成矩阵，那么只能做列变换。不可以在某个方法里同时进行行、列变换。
