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【例2-11】对于任意给定的n阶方阵A和B，求A×B的积C并且 分析它算法执行效率。
非递归形式算法分析：
决定用哪些参数表示输入规模；
找出算法的核心操作，它通常位于算法的最内层循环中；
检查核心操作的执行次数是否只依赖于输入规模。如果 它还依赖于一些其他的特性，则可能需要对最差效率、 平均效率以及最优效率分别研究；
以式 (2-1) 的思想为核心，建立一个算法基本操作执行次 数的求和表达式；
利用求和运算标准公式和法则来建立一个操 作次数的闭合公式，或者至少确定它的增长
次数。
递归形式算法分析：
决定用哪些参数作为输入规模的度量标准；
找出算法的核心操作，它通常是递推公式；
检查一下，对于相同规模的不同输入，核心操作的执 行次数是否可能不同。如果有这种可能，则必须对最 差效率、平均效率以及最优效率做单独研究；
对于算法核心操作的执行次数，建立一个递推关系以 及相应的边界条件；
解这个递推式，或者至少确定它的解的增长 次数。
谨慎使用递归算法，因 为它们的简洁可能会掩 盖其低效率的事实。
【例2-9】交换a和b的值。
非递归
| 算法设计与描述 | 算法分析 |
| 输入：a,b | (1)输入a,b两个数，规模为2 |
| 输出：a,b | |
| swap(a,b) { a <- b; b <- Temp; output(a,b); } | (2)核心操作为3条交换语句； （3）核心操作执行的次数是一个与输入规模无关的常数 （4）算法的时间复杂度为常数阶 T(n)= O(1) //O渐近上界 0 ≤ f(n) ≤ c*g (n ) |
【例2-10】求n!
非递归：
| 算法设计与描述 | 算法分析 |
| 输入：n | (1)输入n，规模为n ，控制迭代次数。 |
| 输出：n ! | |
| F (n) { for i <- 1 to n do s=s*i ; output(s); } | （2）核心操作为 s=s*i ； 一次乘法运算 （3）核心操作执行的次数，只受输入规模n控制 （4）依据定理2.5 算法的时间复杂度为常数阶 T(n)= ∑(n,i=1) 1 = Θ(n) //渐近紧界 |
递归：
计算模型：
| 算法设计与描述 | 算法分析 |
| 输入：n | (1)输入n，规模为n ，计算规模也是n |
| 输出：n ! | |
| F (n) { else return n*F(n-1); } | （2）核心操作为 n*F(n-1) ； 一次乘法运算 （3）根据递推公式，每递推一次，执行一次乘法操作，因此有以下推导过程： （4） //渐近紧界 |
【例2-11】对于任意给定的n阶方阵A和B，求A×B的积C并且 分析它算法执行效率。
问题分析：
C也是n阶方阵，每个元素 = 矩阵A的行 和矩阵B的列 的点积 。
对于 i>=0 , j<= n-1 的每一对下标 ，有 C[i,j] = A[i,0]B[0,j] +... + [i,k]B[k,j] + .... + A[i,n-1]B[n-1,j]
计算模型：
设 i , j, k ∈[0, n-1]，矩阵运算中将反复执行下述计算公式：
非递归：
| 算法设计与描述 | 算法分析 |
| 输入：A,B | (1)输入A,B，规模为n x n |
| 输出：C=Ax B | |
| MatrixMultiplication (A[n] ,B[n] ) { for i <- 0 to n-1 do for j <- 0 to n-1 do { C[i,j] <- 0.0 ; for k <- 0 to n-1 do C[i,j] = C[i,j] + A[i,k]*B[k,j]; } return C; } | （2）核心操作 通过加法和乘法运算 求C[i,j] （3）核心操作执行的次数，只受输入规模n控制 ∑(n-1 , k=0) 1 （4）依据定理2.5 算法的时间复杂度为常数阶 T(n)= Θ(n^3 ) //渐近紧界
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【例2-13】汉诺塔(Tower of Hanoi)问题。
如图 2-2 所示，有 n个 大小不同的盘子和 3 根木桩。开始时，所有盘子都套在第A根 木桩上，最大的盘子在底部，最小的盘子在顶部。现在要借 助第 B 根木桩把所有盘子都移动到第 C根木桩上，但是移动时， 必须保证大盘子在下面，小盘子在上面。
问题分析：
把n 个盘子从木桩A移到木桩C，三个步骤：
1）把n-1个盘子从木桩A移到木桩B，借助于木桩C；
2）把一个盘子从木桩A移到木桩C
3）把n-1个盘子从木桩B移到木桩C，借助木桩A
计算规模：
递归：
| 算法设计与描述 | 算法分析 |
| 输入：n | (1)输入n，计算规模是n |
| 输出：显示 |  |
| Hanoi (A,C,n) { else { Hanio(A,B,n-1);//n-1个盘子，从A移到B，借助另一个 move(A,C); // 从A移动到C Hanoi(B,C,n-1); // } } | （2）核心操作为 移动盘子 （3）根据递推公式，。。。【不全】 |
【例2-14】试分析二路归并排序算法的时间复杂度。
问题分析
二路归并排序的思想是：将待排序 的数列分成相等的两个子数列(数量 相差±1)，然后，再使用同样的算 法对两个子序列分别进行排序，最 后将两个排好的子序列归并成一个 有序序列。
| 算法设计与描述 MergeSort( A,p,r ) | 算法分析【换元迭代】 |
| 输入：n个数的无序序列A[p,r] , 1<= p <= r <= n , | (1)输入n，计算规模是n |
| 输出：n个数的有序序列A[p,r] | |
| MergeSort (A,p,r) { { q <- (p+r)/2 ;//中间 MergeSort (A,p,q); //左侧 MergeSort(A,q+1,r) ;//右侧 Merge (A,p,q,r); } } | （2）核心操作为 移动盘子 （3） (4) 换元
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Merge
| 算法设计与描述 Merge( A,p,q,r ) | 算法分析 |
| 输入：n按递增顺序排好的 A[p...q] 和 A[q+1...r ] | (1)输入n，计算规模是n |
| 输出:按照递增顺序排序的A[p,r] | |
| Merge (A,p,q,r) { x <- q-p+1 ,y <- r-q;//x,y分别是两个子数组的元素数 A[p...q] -> B[1...x] , A[q+1...r] -> C[1...y] //两个新数组 i <- 1 ,j<- 1 ,k <- p while i<=x and j <= y do { if ( B[i] <= C[ j ] ) //注意是i 和 j { A[k] <- B[i];//较小数 i <- i+1; } else { A[k] <- C[j] ; j <- j+1; } k=k+1; } if(i>x) C[j...y] -> A[k..r] //如果还要剩余的元素，就不需要比较，直接赋值回去就行 else B[i..x] -> A[k...r] } | （2）核心操作为 移动盘子 （3）根据递推公式，。。。【不全】 |
定理2.6 主定理(Master Theorem)
