拉斯维加斯随机化算法求解整数因子分解

问题描述

     设n>1是一个整数。关于整数n的因子分解问题是找出n的如下形式的唯一分解式：。其中，p1<p2<…<pk是k个素数，m1,m2,…,mk是k个正整数。如果n是一个合数，则n必有一个非平凡因子x，1<x<n，使得x可以整除n。给定一个合数n，求n的一个非平凡因子的问题称为整数n的因子分割问题。

下面算法split(n)可以对整数因子分割：

int Split(int n)
{
    int m = floor(sqrt(double(n)));
    for (int i=2; i<=m; i++)
    {
        if (n%i==0)
        {
            return i;
        }
    }
    return 1;
}

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算法split(n)是对范围在1～x的所有整数进行了试除而得到范围在1～x^2的任一整数的因子分割。 

 Pollard p - 1 方法由Pollard 于1974 年提出，用来找到给定合数n的一个因子d。Pollard算法用于Split(n)相同工作量就可以得到在1～x^4范围内整数的因子分割。具体过程如下：在开始时选取0～n-1范围内的随机数，然后递归地由
产生无穷序列对于i=2^k，k=0,1,.....以及2^k<j<=2^(k+1)，算法计算出xj-xi与n的最大公因子d=gcd(xj-xi，n)。如果d是n的非平凡因子，则实现对n的一次分割，算法输出n的因子d。

     算法具体实现如下：其中gcd(a,b)是求两个整数最大公因素的欧几里得算法。

//随机化算法 拉斯维加斯算法 因子分割问题
#include "stdafx.h"
#include "RandomNumber.h"
#include 
using namespace std;
 
//求整数a和b最大公因数的欧几里得算法
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
    {
        return a;
    }
    else
    {
        return gcd(b,a%b);
    }
}
 
//求整数n因子分割的拉斯维加斯算法
void Pollard(int n)
{
    RandomNumber rnd;
    int i = 1;
    int x = rnd.Random(n);            //随机整数
    int y = x;
    int k = 2;
 
    while(true)
    {
        i++;
        x = (x*x - 1) % n;            //x[i]=(x[i-1]^2-1) mod n
        int d = gcd(y-x,n);            //求n的非平凡因子
 
        if((d>1) && (d        {
            cout<            return;
        }
 
        if(i == k)
        {
            y = x;
            k *= 2;
        }
    }
}
 
int main()
{
    int n = 1024;
    cout<    Pollard(n);
    return 0;
}

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#include"time.h"
//随机数类
const unsigned long maxshort = 65536L;
const unsigned long multiplier = 1194211693L;
const unsigned long adder = 12345L;
 
class RandomNumber
{
    private:
        //当前种子
        unsigned long randSeed;
    public:
        RandomNumber(unsigned long s = 0);//构造函数，默认值0表示由系统自动产生种子
        unsigned short Random(unsigned long n);//产生0：n-1之间的随机整数
        double fRandom(void);//产生[0,1)之间的随机实数
};
 
RandomNumber::RandomNumber(unsigned long s)//产生种子
{
    if(s == 0)
    {
        randSeed = time(0);//用系统时间产生种子
    }
    else
    {
        randSeed = s;//由用户提供种子
    }
}
 
unsigned short RandomNumber::Random(unsigned long n)//产生0：n-1之间的随机整数
{
    randSeed = multiplier * randSeed + adder;//线性同余式
    return (unsigned short)((randSeed>>16)%n);
}
 
double RandomNumber::fRandom(void)//产生[0,1)之间的随机实数
{
    return Random(maxshort)/double(maxshort);
}

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运行结果:

 对Pollard算法更深入的分析可知，执行算法的while循环约次后，Pollard算法会输出n的一个因子p。由于n的最小素因子，故Pollard算法可在O(n^(1/4))时间内找到n的一个素因子。在上述Polllard算法中还可将产生序列Xi的递归式改作

Xi=（Xi-1^2-c）mod n,其中，c是一个不等于0和2的整数。

参考文献：王晓东《算法设计与分析》第二版

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