埃氏筛

埃氏筛的原理：一个素数的倍数一定是合数
应用这个原理，我们可以逐步筛去0-n区间内的合数
代码实现如下

import java.util.*;
public class Text_1 {
	public static void main (String[] args) {
		Scanner s = new Scanner(System.in);
		int n = s.nextInt();
		int[] is_prime = new int[n+1];             //标记是否为素数，0代表是，1代表不是
		int[] prime = new int[n+1];                //存放素数
		is_prime[0]=1;                            //0与1都不是素数
		is_prime[1]=1;
		int count=0;                             //记录素数的个数           
		for(int i=2;i<=n;i++) {
			if(is_prime[i]==0) {                 //从2开始，如果是素数，将其存放进prime数组里
				prime[count]=i;       
				count++;                         //素数数量加一
				for(int j=2;i*j<n;j++) {         //将0-n中素数的倍数全部筛选出，标记为合数
				is_prime[i*j]=1;
			    }                        
			}
		}
		for(int i=0;i<count;i++) {             //打印出0-n的所有素数
			System.out.println(prime[i]);
		}
	}
}

示例输入

示例输出

从上述代码也可以看出，筛选的过程存在重复，这在很大程度上影响了算法的效率，比如4和6会同时被2和3筛选

欧拉筛

欧拉筛是在埃氏筛上的改进，能有效避免重复筛选的情况，时间复杂度O（n）

比如说 1 ，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11， 12
当 i=4时： primes = {2, 3}
此时i%2=0, 如果不结束内层循环的话,12会被3∗4筛掉， 当i=6时，12又会被2∗6筛掉。

代码实现

import java.util.*;
public class Test_2 {
	public static void main (String[] args) {
		Scanner s = new Scanner(System.in);
		int n = s.nextInt();
		int[] is_prime = new int[n+1];
		int[] prime = new int[n+1];
		is_prime[0]=1;
		is_prime[1]=1;
		int count=0;
		for(int i=2;i<=n;i++) {
			if(is_prime[i]==0) {      
				prime[count]=i;
				count++;
			}
			for(int j=0;j<count&&i*prime[j]<=n;j++) {
				is_prime[i*prime[j]]=1;
				if(i%prime[j]==0)
					break;
			}
		}
		for(int i=0;i<count;i++) {
			System.out.println(prime[i]);
		}
	}
}