简谈素数筛子-埃氏筛与欧拉筛

1.埃氏筛，算法复杂度为，思想很简单，我们知道2是素数，那么2的倍数一定不是素数，那么这些数我们就可以无需进行素数判断，同理3是素数，那么3的倍数……于是，先把N个素数排列起来，从2开始，2的倍数全部标记为合数，再把3的倍数标记为合数，一直做下去，就能把不超过N的所有合数筛掉。代码如下：

#include <iostream>
#include <cmath>
#define maxn 10000005
bool a[maxn]={0};//判断标记数组，初始为0
int prime[maxn];
using namespace std;
int main(){
	int n,m;
	cin>>n;
	for(int i=2;i<=sqrt(n)+1;i++)
		if(a[i]==0)//i为素数
			for(int j=i;i*j<=n;j++) a[i*j]=1;//标记i的倍数为合数，把j初始i，小优化
	m=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(!a[i]) prime[m++]=i;//素数a[i]为0
	for(int i=0;i<m;i++) cout<<prime[i]<<' ';
	return 0;
}

2.欧拉筛

在上面筛选过程中，存在重复筛选的情况，比如12会被2和3重复筛，如果我们能避免重复筛选，那么算法效率可以大大提高至,思路为如果i为素数，那么i乘以小于i的素数，筛选的数跟之前筛出来的不会重复。代码如下：

#include <iostream>
#define maxn 10000005
int a[maxn]={0},prime[maxn];
using namespace std;
int main(){
	int n,i,j;
	cin>>n;
	int num=0;
	for(int i=2;i<n;i++){
		if(!a[i]) prime[num++]=i;//将素数存进去
		for(int j=0;j<num && i*prime[j]<n;j++){//筛去i*prime数组的元素
			a[i*prime[j]]=1;
			if(!i%prime[j]) break;//如果i被prime数组元素整除，退出，避免重复筛选
		}
	}
	for(int i=0;i<num;i++) cout<<prime[i]<<' ';
	return 0;
}