洛谷P3194 [HNOI2008]水平可见直线 题解

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一条直线C被另外两条直线A和B所覆盖

它的充分必要条件为直线C在A,B交点处的值更小一些

反之，直线C也可能对答案有贡献

那么交点的坐标是什么呢？
$$\begin{gathered} A_{1}x+B_1=A_{2}x+B_2 \\ x=\frac{B_2-B_1}{A_1-A_2} \end{gathered}$$
则
$$\begin{gathered} A_1\frac{B_2-B_1}{A_1-A_2}+B_1\ge A_3\frac{B_2-B_1}{A_1-A_2}+B_3 \\ \frac{B_2-B_1}{A_2-A_1}\ge \frac{B_3-B_1}{A_3-A_1} \end{gathered}$$
可以发现这个式子很像斜率

如果记 $P_i(A_i,B_i)$

那么答案就是点集 { P i } \{P_i\} {Pi​} 构成的上凸壳

为什么是上凸壳？显然我们选定的是斜率大且尽可能截距大

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define N (int)(1e5+15)
struct vct
{
    double x,y;int id;
    vct operator-(const vct &o)const
    {
        return (vct){x-o.x,y-o.y};
    }
}p[N];
int n,stk[N],top;
double cross(vct a,vct b)
{
    return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        cin >> p[i].x >> p[i].y;
        p[i].id=i;
    }
    sort(p+1,p+1+n,[](vct a,vct b)
    {
        return a.x==b.x?a.y>b.y:a.x>b.x;
    });
    stk[++top]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        if(p[i-1].x==p[i].x)continue;
        while(top>1&&cross(p[stk[top]]-p[stk[top-1]],p[i]-p[stk[top]])<=0)
            --top;
        stk[++top]=i;
    }
    sort(stk+1,stk+1+top,[](int a,int b)
    {
        return p[a].id<p[b].id;
    });
    for(int i=1; i<=top; i++)
        cout << p[stk[i]].id << " ";
    return 0;
}

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