数论基础

1.模运算

*做减法时候为了避免出现负数,需要

(a-b)mod m=((a mod m)-(b mod m)+m) mod m

*除法取模需要逆元

2.快速幂

第一种：

long long fastpow1(long long a,long long n)
{
  if(n==1) return a;
  long long tmp =fastpow(a,n/2);
  if(n%2==1) return tmp*tmp*a;
  else return tmp*tmp;
}

第二种：

long long fastpow2(long long a,long long n)
{
  long long ans=1;
  while(n)
  {
    if(n&1) ans*=a;
    a*=a;
    n>>=1;
  }
  return ans;
}

3：GCD
辗转相除法： gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
更相减损术：gcd(a,b)=gcd(b,a-b)
LCM:
lcm(a,b)=a*b/(gcd(a,b)
性质：
gcd(a,0)=a
gcd(a,b)=gcd(a,-b)

int gcd(int a,int b)
{
  return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

同余与逆元：

同余式：

逆元：

求除法的模：

a/b mod m=ak (b的逆元） mod m

逆元的求法：

1.拓展欧几里得 2.费马小定理

费马小定理：

唯一分解定理：

int fact[N],power[N];

void prime(int n)
{
  for(int i=2;i<=n;i++)
  {
    fact[++con]=i;
    while(n%i==0)
    {
      n/=i;
      power[con]++;
    }
  }
}

素数筛：
1：埃式筛法

int getprime(int n)
{
  for(int i=1;i<=n;i++) isprime[i]=1;
  isprime[0]=isprime[1]=0;
  for(int i=2;i<=n;i++)
  {
    if(isprime[i])
    {
      prime[++con]=i;
      for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
      {
        isprime[j]=0;
      }
    }
  }
}

2：欧拉筛

int getprime(int n)
{
  for(int i=2;i<=n;i++)
  {
    if(!isnotprime[i]) pri[++con]=i;
    for(int j=1;j<=con;j++)
    {
      if(i*pri[j]>n) break;
      isnotprime[i*pri[j]]=1;
      if(i%pri[j]==0) break;
    }
  }
}