【LeetCode 629】K个逆序对数组

给出两个整数 n 和 k，找出所有包含从 1 到 n 的数字，且恰好拥有 k 个逆序对的不同的数组的个数。

逆序对的定义如下：对于数组的第i个和第 j个元素，如果满i < j且 a[i] > a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。

由于答案可能很大，只需要返回 答案 mod 109 + 7 的值。

示例 1:

输入: n = 3, k = 0
输出: 1
解释: 
只有数组 [1,2,3] 包含了从1到3的整数并且正好拥有 0 个逆序对。
示例 2:

输入: n = 3, k = 1
输出: 2
解释: 
数组 [1,3,2] 和 [2,1,3] 都有 1 个逆序对。
说明:

 n 的范围是 [1, 1000] 并且 k 的范围是 [0, 1000]。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/k-inverse-pairs-array
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

解题报告：

经典动态规划。dp[i][j]代表1~i可以构成逆序对为k的方案数。

考虑转移dp[i][j]，即最后一步决策，即在1~i-1已经放好的基础上，i放到哪个位置上，放到不同的位置上可以新增0~i-1中的某个值。当然，也不能超了j。即更新dp[i][j]时，决策第i层可以新层逆序对的个数：0~min(i-1, j)。对应加和就行。然后用前缀和优化一下。空间也可以滚动数组优化但是没啥必要了就不写了。

AC代码：

class Solution {
public:
    long long dp[1005][1005];
    long long sum[1005];
    const int mod = 1e9 +7;
    int kInversePairs(int n, int k) {
        dp[0][0] = 0;
        for(int i = 1; i<=n; i++) dp[i][0] = 1;
        for(int i = 1; i<=n; i++) {
            sum[0] = dp[i-1][0];
            for(int j = 1; j<=k; j++) {
                sum[j] = (sum[j-1] + dp[i-1][j])%mod;
            }
            for(int j = 1; j<=k; j++) {
                int down = min(i-1,j);
                dp[i][j] = (sum[j] - (j-down-1>=0?sum[j-down-1]:0) + mod) % mod;
            }
        }
        return dp[n][k] % mod;
    }
};

TLE代码：

class Solution {
public:
    long long dp[1005][1005];
    const int mod = 1e9 +7;
    int kInversePairs(int n, int k) {
        dp[0][0] = 0;
        for(int i = 1; i<=n; i++) dp[i][0] = 1;
        for(int i = 1; i<=n; i++) {
            for(int j = 1; j<=k; j++) {
                for(int q = 0; q<=i-1; q++) {
                    if(j-q < 0) break;
                    dp[i][j] += dp[i-1][j-q];
                    dp[i][j] %= mod;
                }
            }
        }

        // for(int i = 0; i<=n; i++) {
        //     for(int j = 0; j<=k; j++) {
        //         cout << dp[i][j] << " ";
        //     }
        //     cout <<endl;
        // }        
        return dp[n][k] % mod;
    }
};