逆序对数题目-CFANZ编程社区

1020 . 逆序排列

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在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

如2 4 3 1中，2 1，4 3，4 1，3 1是逆序，逆序数是4。

1-n的全排列中，逆序数最小为0（正序），最大为n*(n-1) / 2（倒序）

给出2个数n和k，求1-n的全排列中，逆序数为k的排列有多少种？

例如：n = 4 k = 3。

1 2 3 4的排列中逆序为3的共有6个，分别是：

1 4 3 2

2 3 4 1

2 4 1 3

3 1 4 2

3 2 1 4

4 1 2 3

由于逆序排列的数量非常大，因此只需计算并输出该数 Mod 10^9 + 7的结果就可以了。

Input

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 10000) 第2 - T + 1行：每行2个数n，k。中间用空格分隔。（2 <= n <= 1000, 0 <= k <= 20000)

Output

共T行，对应逆序排列的数量 Mod (10^9 + 7)

Input 示例

1 4 3

Output 示例

如果题目给序列，让求逆序数，常用方法有用归并排序和树状数组，但这题给的逆序数，让求序列的个数

我们想一个这样的问题，f[n][m]表示逆序数为m的n个元素排列的个数，则

f(n+1,m)=f(n,m)+f（n,m-1）+f(n,m-2)+……+f(n,m-n)

这个公式的解释为：“n+1元素逆序数为m的序列的个数等于n个元素逆序数为（m,m-1,m-2,m-3,…………m-n）”

为什么是这样的呢，因为增加一个元素，逆序数增加的个数为0到n个

所以公式是这样的。如果按这个递推公式去做此题，复杂度为m*n^2

我们可以再仔细看一下 f(n+1,m-1)=f（n,m-1）+f(n,m-2)+……+f(n,m-n)+f(n,m-n-1)

所以当m-n-1小于0时：f(n+1,m)=f(n,m)+f(n+1,m-1);

所以当m-n-1大于0时：f(n+1,m)=f(n,m)+f(n+1,m-1)-f(n,m-n-1);

这样的话复杂度就为，n*m；

还有一句初始化的问题：要记得任何序列，逆序数为1的个数为1

本题还可以用滚动数组，节省内存

逆序数奇偶各半, 都是 n!/2

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#define MAXN 20008
#define Mod   1000000007
typedef struct{
    int x,y,Id;
    int count;

}NODE;
NODE node[10008];
int t,n,m;
int f[2][MAXN];

bool comp(NODE a,NODE b){
    return a.x<b.x;

}
bool comb(NODE a,NODE b){
    return a.Id<b.Id;

}

void COUNT(){
    int i,j,k,p;
    memset(f,0,sizeof(f));

   for(k=0;k<t;k++)
    if(node[k].x==1){
        if(node[k].y==0)
        node[k].count=1;
        else
        node[k].count=0;
    }
    else break;

     f[0][0]=1;
     for(i=2;i<=n;i++){
         f[1][0]=1;
         p=i*(i-1)/2;
         if(p>m)p=m;
         for(j=1;j<=p;j++){
             f[1][j]=(f[1][j-1]+f[0][j])%Mod;
             if(j-i>=0){
                 f[1][j]-=f[0][j-i];
                 if(f[1][j]<0)
                 f[1][j]+=Mod;

             }

         }
         for(;k<t;k++)
         if(node[k].x==i)
         node[k].count=f[1][node[k].y];
         else break;
         for(j=0;j<=p;j++)
         f[0][j]=f[1][j];

     }
}
int main(){
    int i;
    cin>>t;
    n=0;m=0;
    for(i=0;i<t;i++){
        cin>>node[i].x>>node[i].y;
        node[i].Id=i;
        n=max(n,node[i].x);m=max(m,node[i].y);
    }
    sort(node,node+t,comp);
    COUNT();
    sort(node,node+t,comb);
    for(i=0;i<t;i++)
    cout<<node[i].count<<endl;

}

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