lintcode393买卖股票的最佳时机IV

描述

给定n天的股票值和允许的最大交易次数k，问最大利润。
已经买了一只股必须要卖出去才能买下一支股。

思路

dp。
当k>=n//2时，达到n天交易次数的饱和，这时，只要一有利润就会有收入。具体在实现上，相邻两天如果是股票值上升的，就记入利润。
其余情况，用dp。首先考虑状态，本题有两个，第几天和第几次交易。
$dp[i][j]$代表第$i$天第$j$次交易完成后的利润。
状态转移方程：
$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[m][j-1]+p[i]-p[m]),m=0,....,i-1$
$m$代表第$j$次交易买入的时间是第$m$天。
于是有了下面的代码：

from typing import (
    List,
)

class Solution:
    """
    @param K: An integer
    @param prices: An integer array
    @return: Maximum profit
    """
    def maxProfit(self, K, prices):
        k = K
        n = len(prices)
        if k==0 or n==0:
            return 0
        if k >= n//2:
            res = 0
            for i in range(1, n):
                if prices[i]-prices[i-1]>0:
                    res += prices[i]-prices[i-1]
            return res
        else:
            dp = [[0]*(k+3) for i in range(n+3)]
        
            for i in range(1, n):
                for j in range(1, k+1):
                    diff = max([dp[k][j-1]-prices[k] for k in range(i)])
                    dp[i][j] = max(diff+prices[i], dp[i-1][j])
                    
            return dp[n-1][k]

这个代码运行超时，因为时间复杂度O(nnk)，主要是求diff用了O(n)。可以优化一下。
diff实际上是 $dp[m][j-1]-p[m]，m=0,...i-1$，j-1是不动的，m是动的，可以把j-1代表的循环放外层，m
代表的循环放内存，每次循环的时候记录一下，就不需要额外的O(n)。具体是，$dp[i][j]$的i和j的含义换一下，i代表第几次交易，j代表第几天。于是有：

from typing import (
    List,
)

class Solution:
    """
    @param K: An integer
    @param prices: An integer array
    @return: Maximum profit
    """
    def maxProfit(self, K, prices):
        k = K
        n = len(prices)
        if k==0 or n==0:
            return 0
        if k >= n//2:
            res = 0
            for i in range(1, n):
                if prices[i]-prices[i-1]>0:
                    res += prices[i]-prices[i-1]
            return res
        else:
            dp = [[0]*(n+3) for i in range(k+3)]
        
            for i in range(1, k+1):
                diff = float('-inf')
                for j in range(1, n):
                    diff = max(diff, dp[i-1][j-1]-prices[j-1])
                    dp[i][j] = max(diff+prices[j], dp[i][j-1])
                    
            return dp[k][n-1]

通过。注意diff初始化，不能初始化为0，要初始化为float(’-inf’)代表负无穷。
目标是要求最大的diff，所以初始化为最小值。
因为diff代表第i-1次交易前j-1天的最大利润，利润可以为负的，代表亏损，
如果初始化为0，就可能比实际利润要大，显然不合理。
当初始化为最小或最大的值的时候要考虑当下的题目的实际情况。