【蓝桥杯】一学就会的小技巧（一）：前缀和

🍏前言：

🌴🌴Hello，大家好呀！从本篇开始会收录一些算法小技巧，它们包括前缀和、差分、快速幂…这些技巧难度不大，稍加练习就能很快掌握(¬‿¬)

☕☕让我们先从前缀和开始~

题目传送门🚀🚀🚀

🍓前缀和：

👩🏻‍🏫前缀和常常用于快速求得数组的区间和，我们不妨直接从一道例题中引入前缀和这个小技巧。

👉🏻算法训练：区间求和

⭐题目似乎很简单，直接暴力枚举即可，很容易写出如下代码，时间复杂度$O(N^2)$。

Java代码：

import java.util.Scanner;

public class Main {
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int[] num = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            num[i] = sc.nextInt();
        int q = sc.nextInt();
        for (int i = 0; i < q; i++) {
            int ans = 0;
            int x = sc.nextInt();
            int y = sc.nextInt();
            for (int j = x; j <= y; j++)
                ans += num[j];
            System.out.println(ans);
        }
        sc.close();
    }
}

评测结果：

⭐用时234ms，本题的数据量最大是2000，因此没有超时，但如果数据量是$1\times 10^5$呢？二重循环的时间复杂度是$1\times 10^{10}$，对1s内可以算$10^8$次的计算机来说显然不可接收，所以还需要想办法优化一下，这就要用到前缀和这个技巧了。

🍬在处理输入时，可以使用一个额外的数组sum[n]来存储前n项和，比如下面这样：

🍬让数组的下标从1开始，num[]用来存储原数组，sum[]存储前n项和，那么想求得num[1] ~ num[3]的区间和，只需要计算sum[3] - sum[1 - 1]即可。换言之，对于每次询问x y，num[x] ~ num[y]的区间和可以用sum[y] - sum[x - 1]表示。

🍬每次询问的时间复杂度为$O(1)$，总时间复杂度为$O(N)$。

🍦前缀和代码（Java）：

import java.util.Scanner;

public class Main {
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int[] num = new int[n + 1];
        int[] sum = new int[n + 1];
        // 预处理输入，sum用来存储前n项和
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            num[i] = sc.nextInt();
            sum[i] = sum[i - 1] + num[i];
        }
        int q = sc.nextInt();
        // 每次询问可以利用sum立即得到区间和
        for (int i = 0; i < q; i++) {
            int x = sc.nextInt();
            int y= sc.nextInt();
            System.out.println(sum[y] - sum[x - 1]);
        }
        sc.close();
    }
}

🎈评测结果：

🍬可以看到速度要比暴力枚举快了一些。

🥝力扣练习题：

👩🏻‍🏫看到这里可以尝试下LeetCode303.区域和检索，是一道前缀和的模板题。

• 需要注意本题的数组已经给定，下标要做出相应修改。

🍦AC代码（Java）：

class NumArray {

    private int[] sum;

    public NumArray(int[] nums) {
        sum = new int[nums.length + 1];
        for (int i = 0; i < nums.length; i++)
            sum[i + 1] = sum[i] + nums[i];
    }
    
    public int sumRange(int left, int right) {
        return sum[right + 1] - sum[left];
    }
}

/**
 * Your NumArray object will be instantiated and called as such:
 * NumArray obj = new NumArray(nums);
 * int param_1 = obj.sumRange(left,right);
 */

🎈评测结果：