【蓝桥杯】一学就会的小技巧（三）：快速幂

🍻前言：

🎈🎈快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。

题目传送门🚀🚀🚀

🍸快速幂：

👩🏻‍🏫从一道模板题入手来了解快速幂~

⭐常规幂运算的时间复杂度为$O(N)$，主要取决于指数的大小。题目中的指数最大可以是$2^{31}$，显然在1s内算不出结果，这时就要用到快速幂这个技巧了。

✨如何快速幂呢？✨

• 以题目中的样例为例，由幂运算的性质，$2^{10}$可以拆分成$2^5\times 2^5$，$2^5$可以继续拆分成$2^2\times 2^3$…

• 再由二进制的运算性质，不妨将指数写成二进制形式，$2^{10}$ ==>$2^{(1010{)}_2}$，那么计算$2^{10}$可以根据指数的二进制形式拆开成：

  $$2^{10}=(2^1\times 0)\times (2^2\times 1)\times (2^4\times 0)\times (2^8\times 1)$$

  $$即：2^{10}=(2^2\times 1)\times (2^8\times 1)$$

• 所以，我们可以先将结果设置为1，然后从低位到高位判断二进制形式指数上的每一位（二进制的每一位从第到高分别代表1，2，4，8，16...次幂，换句话说就是第n位二进制数代表$2^{n-1}$次幂）如果是0则跳过，如果是1则将结果乘以底数的$2^{n-1}$次幂。

• 如何判断每个二进制位是不是1呢？可以通过和1进行与运算的方式，判断最低位是不是1，然后再右移一位依次进行判断。

• 这种方法的时间复杂度取决于指数二进制形式的位数，为$O(logN)$。

• 题目中还要求我们对结果取模，然而由于幂运算的结果可能很大，在计算过程中就有可能溢出，所以必须在计算过程中就对每一次的计算结果取模。由同余定理可知这样做并不会影响最终结果。

• 同余定理：

  $$(a\times b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c=(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)\times (b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c$$

🍦模板代码（Java）：

import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static long fastPower(long a, long b, long p) {
        long res = 1;
        while (b > 0) {
            if ((b & 1) == 1)
                res = (res * a) % p;
            a = (a * a) % p;
            b = b >> 1;
        }
        return res;
    }

    public static void main(String[] args) {
          Scanner sc = new Scanner(System.in);
          int a = sc.nextInt();
          int b = sc.nextInt();
          int p = sc.nextInt();
          sc.close();
          long res = fastPower(a, b, p);
          System.out.println(a + "^" + b + " mod "+ p+ "=" + res);
    }
}