【区间求和问题】上下界分析 + 差分应用

题目描述

这是 LeetCode 上的 ​​798. 得分最高的最小轮调​​ ，难度为 困难。

Tag : 「区间求和问题」、「差分」

给你一个数组 ，我们可以将它按一个非负整数 进行轮调，这样可以使数组变为 

例如，数组为 ，我们按  进行轮调后，它将变成 。这将记为 分，因为 [不计分]、 [不计分]、 [计 分]、 [计 分]， [计 分]。 在所有可能的轮调中，返回我们所能得到的最高分数对应的轮调下标 。如果有多个答案，返回满足条件的最小的下标

示例 1：

输入：nums = [2,3,1,4,0]

输出：3

解释：
下面列出了每个 k 的得分：
k = 0,  nums = [2,3,1,4,0],    score 2
k = 1,  nums = [3,1,4,0,2],    score 3
k = 2,  nums = [1,4,0,2,3],    score 3
k = 3,  nums = [4,0,2,3,1],    score 4
k = 4,  nums = [0,2,3,1,4],    score 3
所以我们应当选择 k = 3，得分最高。

示例 2：

输入：nums = [1,3,0,2,4]

输出：0

解释：
nums 无论怎么变化总是有 3 分。
所以我们将选择最小的 k，即 0。

提示：

上下界分析 + 差分应用

为了方便，令 为 长度（中文的数据范围是错的，数组长度应该是 ，不是 ）。

对于给定的 而言，有效的轮调范围为 ，即对于任意 而言，可取的下标共有

假定当前下标为 ，轮调次数为 ，那么轮调后下标为 ，当新下标为负数时，相当于 出现在比原数组更“靠后”的位置，此时下标等价于 。

考虑什么情况下

首先新下标的取值范围为 ，即有 。由此可分析出

即由新下标取值范围可知 的上下界分别为 和 。

同时为了满足得分定义，还有 ，进行变形可得：

此时我们有两个关于 的上界 和 ，由于 取值范围为 ，则有 ，由于必须同时满足「合法移动（有效下标）」和「能够得分」，我们仅考虑范围更小（更严格）由 推导而来的上界

综上， 能够得分的 的取值范围为 。

最后考虑 （均进行加 模

• 当时，
• 当时，根据负数下标等价于，此时等价于和

至此，我们分析出原数组的每个 能够得分的 的取值范围，假定取值范围为 ，我们可以对 进行 标记，代表范围为 能够得 分，当处理完所有的 后，找到标记次数最多的位置

标记操作可使用「差分」实现（不了解差分的同学，可以先看前置🧀：​​差分入门模板题​​，里面讲解了差分的两个核心操作「区间修改」&「单点查询」），而找标记次数最多的位置可对差分数组求前缀和再进行遍历即可。

代码：

class Solution {
    static int N = 100010;
    static int[] c = new int[N];
    void add(int l, int {
        c[l] += 1; c[r + 1] -= 1;
    }
    public int bestRotation(int[] nums) {
        Arrays.fill(c, 0);
        int n = nums.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int a = (i - (n - 1) + n) % n, b = (i - nums[i] + n) % n;
            if (a <= b) {
                add(a, b);
            } else {
                add(0, b);
                add(a, n - 1);
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) c[i] += c[i - 1];
        int ans = 0, k = c[0];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (c[i] > k) {
                k = c[i]; ans = i;
            }
        }
        return

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.798​​ 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：​​github.com/SharingSour…​​ 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。