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从「朴素解法」到最优解「多路归并」|Java


题目描述

这是 LeetCode 上的264. 丑数 II

给你一个整数 n ,请你找出并返回第 n 个 丑数 。

丑数 就是只包含质因数 2、3 和/或 5 的正整数。

示例 1:

输入:n = 10
输出:12
解释:[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12] 是由前 10 个丑数组成的序列。

示例 2:

输入:n = 1
输出:1
解释:1 通常被视为丑数。

提示:

  • 1 <= n <= 1690

基本思路

根据丑数的定义,我们有如下结论:

  • 是最小的丑数。
  • 对于任意一个丑数,其与任意的质因数(、、)相乘,结果(、、)仍为丑数。

优先队列(小根堆)解法

有了基本的分析思路,一个简单的解法是使用优先队列:

  1. 起始先将最小丑数放入队列
  2. 每次从队列取出最小值,然后将所对应的丑数、和进行入队。
  3. 对步骤 2 循环多次,第次出队的值即是答案。

为了防止同一丑数多次进队,我们需要使用数据结构 来记录入过队列的丑数。

代码:

class Solution {
int[] nums = new int[]{2,3,5};
public int nthUglyNumber(int n) {
Set<Long> set = new HashSet<>();
Queue<Long> pq = new PriorityQueue<>();
set.add(1L);
pq.add(1L);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
long x = pq.poll();
if (i == n) return (int)x;
for (int num : nums) {
long t = num * x;
if (!set.contains(t)) {
set.add(t);
pq.add(t);
}
}
}
return -1;
}
}
  • 时间复杂度:从优先队列中取最小值为,往优先队列中添加元素复杂度为。整体复杂度为。
  • 空间复杂度:。

多路归并(多指针)解法

从解法一中不难发现,我们「往后产生的丑数」都是基于「已有丑数」而来(使用「已有丑数」乘上「质因数」、、)。

因此,如果我们所有丑数的有序序列为 的话,序列中的每一个数都必然能够被以下三个序列(中的至少一个)覆盖:

  • 由丑数 *所得的有序序列:、、、、、、...
  • 由丑数 *所得的有序序列:、、、、、、...
  • 由丑数 *所得的有序序列:、、、、、、...

举个????,假设我们需要求得 丑数序列 的最后一位,那么该序列可以看作以下三个有序序列归并而来:

  • ,将提出,即
  • ,将提出,即
  • ,将提出,即

因此我们可以使用三个指针来指向目标序列 的某个下标(下标 作为哨兵不使用,起始都为 ),使用 代表当前使用到三个有序序列中的哪一位,同时使用 表示当前生成到 哪一位丑数。

代码:

class Solution {
public int nthUglyNumber(int n) {
// ans 用作存储已有丑数(从下标 1 开始存储,第一个丑数为 1)
int[] ans = new int[n + 1];
ans[1] = 1;
// 由于三个有序序列都是由「已有丑数」*「质因数」而来
// i2、i3 和 i5 分别代表三个有序序列当前使用到哪一位「已有丑数」下标(起始都指向 1)
for (int i2 = 1, i3 = 1, i5 = 1, idx = 2; idx <= n; idx++) {
// 由 ans[iX] * X 可得当前有序序列指向哪一位
int a = ans[i2] * 2, b = ans[i3] * 3, c = ans[i5] * 5;
// 将三个有序序列中的最小一位存入「已有丑数」序列,并将其下标后移
int min = Math.min(a, Math.min(b, c));
// 由于可能不同有序序列之间产生相同丑数,因此只要一样的丑数就跳过(不能使用 else if )
if (min == a) i2++;
if (min == b) i3++;
if (min == c) i5++;
ans[idx] = min;
}
return ans[n];
}
}
  • 时间复杂度:。
  • 空间复杂度:。

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.264​​ 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:​​github.com/SharingSour…​​

在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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