2017-1-6. 求曲面，和平面的距离。
由题，设曲面上距平面最近的点为。
所以，曲面在此处的法向量为。
又显然有，平面的法向量为。
所以，所以距离为，
2017-2-6. 求曲面，和平面的距离。
由题，设曲面上距平面最近的点为。
所以，曲面在此处的法向量为。
又显然有，平面的法向量为。
所以，所以距离为，
2017-3-6. 求曲面，和平面的距离。
由题，设曲面上距平面最近的点为。
所以，曲面在此处的法向量为。
又显然有，平面的法向量为。
所以，所以距离为，
2018-1-2. 直角坐标系内，有直线。求原点到直线的距离，以及经过原点和直线的平面的一般方程。
由题，直线经过点，其方向向量为。所以，距离为
显然，所求平面的法向量为
又因为平面经过原点，所以平面的方程为
2018-2-2. 直角坐标系内，有直线和直线。求和之前的距离，以及穿过平行的平面的一般方程。
由题，经过点，其方向向量为。
经过点，其方向向量为。
所以，距离为
显然，所求平面的法向量为
又平面经过点，所以平面的方程为
2019-3-3. 有抛物面，平面，点。
(1) 求原点到抛物面上点处的切平面的距离；
(2) 求抛物面和平面相交形成的曲线在点的切线的点向式方程。
(1) 由题，抛物面的法向量为
在点处，所以切平面的方程为，
即，所以原点到此平面的距离为，
(2) 同上易得，平面在点处的法向量为。
所以切线的方向向量为，
所以，切线的点向式方程为
2019-4-5. 有双曲面和直线。
(1) 求双曲面上到直线距离最近的点的坐标；
(2) 求双曲面到直线的距离。
(1) 由题，双曲面的法向量为，即。
设点即为所求点，易知
即，
所以，当，有。又因为，所以。又因为，所以
所以，，，。此时，距离为
当时，，又因为
所以，，，。此时，距离为
所以，所求点的坐标为
(2) 显然，双曲面到直线的距离即为。
