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整数划分算法原理与实现



本文为原创,如需转载,请注明作者和出处,谢谢!
    整数划分问题是将一个正整数n拆成一组数连加并等于n的形式,且这组数中的最大加数不大于n。
    如6的整数划分为
   

6
 
     5 + 1
 
     4 + 2, 4 + 1 + 1
 
     3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
 
     2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
 
     1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1


   
    共11种。下面介绍一种通过递归方法得到一个正整数的划分数。
   
    递归函数的声明为 int split(int n, int m);其中n为要划分的正整数,m是划分中的最大加数(当m > n时,最大加数为n),
    1 当n = 1或m = 1时,split的值为1,可根据上例看出,只有一个划分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
    可用程序表示为if(n == 1 || m == 1) return 1;
   
    2 下面看一看m 和 n的关系。它们有三种关系
    (1) m > n
    在整数划分中实际上最大加数不能大于n,因此在这种情况可以等价为split(n, n);
    可用程序表示为if(m > n) return split(n, n);   
    (2) m = n
    这种情况可用递归表示为split(n, m - 1) + 1,从以上例子中可以看出,就是最大加
    数为6和小于6的划分之和
    用程序表示为if(m == n) return (split(n, m - 1) + 1);
    (3) m < n
    这是最一般的情况,在划分的大多数时都是这种情况。
    从上例可以看出,设m = 4,那split(6, 4)的值是最大加数小于4划分数和整数2的划分数的和。
    因此,split(n, m)可表示为split(n, m - 1) + split(n - m, m)
   
    根据以上描述,可得源程序如下:
  

#include 
  <
  stdio.h
  >
  

    
  int
   split(
  int
   n, 
  int
   m)
    {
       
  if
  (n 
  <
   
  1
   
  ||
   m 
  <
   
  1
  ) 
  return
   
  0
  ;
       
  if
  (n 
  ==
   
  1
   
  ||
   m 
  ==
   
  1
  ) 
  return
   
  1
  ;
       
  if
  (n 
  <
   m) 
  return
   split(n, n);
       
  if
  (n 
  ==
   m) 
  return
   (split(n, m 
  -
   
  1
  ) 
  +
   
  1
  );
       
  if
  (n 
  >
   m) 
  return
   (split(n, m 
  -
   
  1
  ) 
  +
   split((n 
  -
   m), m));
   }


  int
   main()
 {
      printf(
  "
  12的划分数: %d
  "
  , split(
  12
  , 
  12
  ));
     
  return
   
  0
  ;
 }



将正整数划分成连续的正整数之和


如15可以划分成4种连续整数相加的形式:

15
 
 7 8
 
 4 5 6
 
 1 2 3 4 5



    首先考虑一般的形式,设n为被划分的正整数,x为划分后最小的整数,如果n有一种划分,那么


结果就是x,如果有两种划分,就是x和x x + 1, 如果有m种划分,就是 x 、x x + 1 、 x x + 1 x + 2 、... 、x x + 1 x + 2 ... x + m - 1


将每一个结果相加得到一个公式(i * x + i * (i - 1) / 2) = n,i为当前划分后相加的正整数个数。


满足条件的划分就是使x为正整数的所有情况。


如上例,当i = 1时,即划分成一个正整数时,x = 15, 当i = 2时, x = 7。


当x = 3时,x = 4, 当x = 4时,4/9,不是正整数,因此,15不可能划分成4个正整数相加。


当x = 5时,x = 1。



    这里还有一个问题,这个i的最大值是多少?不过有一点可以肯定,它一定比n小。我们可以做一个假设,


假设n可以拆成最小值为1的划分,如上例中的1 2 3 4 5。这是n的最大数目的划分。如果不满足这个假设,


那么 i 一定比这个划分中的正整数个数小。因此可以得到这样一个公式i * (i + 1) / 2 <= n,即当i满足


这个公式时n才可能被划分。



综合上述,源程序如下


int
   split1(
  int
   n)
 {
     
  int
   i, j, m 
  =
   
  0
  , x, t1, t2;
    
  //
   在这里i + 1之所以变为i - 1,是因为i * (i - 1) / 2这个式子在下面多次用到,
   
  //
   为了避免重复计算,因此将这个值计算完后保存在t1中。并且将<= 号变为了<号。
  

      
  for
  (i 
  =
   
  1
  ; (t1 
  =
   i 
  *
   (i 
  -
   
  1
  ) 
  /
   
  2
  ) 
  <
   n; i
  ++
  ) 
     {
         t2 
  =
   (n 
  -
   t1);
         x 
  =
    t2 
  /
   i;
         
  if
  (x 
  <=
   
  0
  ) 
  break
  ;
         
  if
  ((n 
  -
   t1) 
  %
   i 
  ==
   
  0
  )
         {
             printf(
  "
  %d 
  "
  , x);
             
  for
  (j 
  =
   
  1
  ; j 
  <
   i; j
  ++
  )
                 printf(
  "
  %d 
  "
  , x 
  +
   j);
             printf(
  "
  \n
  "
  );
             m
  ++
  ;
         }
     }
     
  return
   m;
 }



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